У правильной треугольной призмы высота равна 2 дм, радиус описанной около её сферы тоже равен 2 дм.Найдите...

Для начала обозначим сторону основания правильной треугольной призмы как a. Так как призма правильная, то основание призмы является правильным треугольником, у которого радиус описанной около него сферы равен стороне треугольника.

Известно, что радиус описанной около треугольника сферы равен 2 дм. Также известно, что радиус сферы, описанной около правильного треугольника, равен половине стороны треугольника. Таким образом, радиус описанной около треугольника сферы равен a/2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна радиусу описанной около треугольника сферы (2 дм), а катет равен половине стороны основания призмы (a/2). По теореме Пифагора можем записать:

(а/2)^2 + (a/2)^2 = 2^2 a^2/4 + a^2/4 = 4 a^2/2 = 4 a^2 = 8 a = √8 a = 2√2

Таким образом, сторона основания призмы равна 2√2 дм.

Для решения задачи найдем сторону основания правильной треугольной призмы, используя заданные параметры: высота призмы ( h = 2 ) дм и радиус описанной сферы ( R = 2 ) дм.

Шаги решения:

1. Понимание геометрии призмы:

   • Правильная треугольная призма имеет в основании равносторонний треугольник.
   • Высота призмы перпендикулярна основанию и равна ( h = 2 ) дм.

2. Радиус описанной сферы:

   • Сфера, описанная вокруг призмы, касается всех её вершин.
   • Радиус этой сферы равен ( R = 2 ) дм.

3. Связь между радиусом описанной сферы и элементами призмы:

   • В правильной треугольной призме радиус описанной сферы ( R ) равен половине диагонали, проведенной через всю призму. Эта диагональ соединяет две противоположные вершины призмы.
   • Диагональ призмы состоит из высоты призмы и высоты равностороннего треугольника (равносторонний треугольник обладает свойством, что высота равна ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) от стороны треугольника).

4. Выразим радиус через сторону треугольника:

   • Пусть сторона основания равностороннего треугольника равна ( a ).
   • Высота равностороннего треугольника: ( h_{\text{треугольника}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a ).
   • Диагональ, проходящая через всю призму, равна ( \sqrt{h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} ).

5. Уравнение для нахождения стороны основания: [ R = \sqrt{h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} ] [ 2 = \sqrt{2^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} ]

6. Решим уравнение: [ 2 = \sqrt{4 + \frac{3}{4}a^2} ] [ 4 = 4 + \frac{3}{4}a^2 ] [ 0 = \frac{3}{4}a^2 ]

   (Очевидно, в предыдущих вычислениях допущена ошибка, уравнение не дает смысла; уточним методику).

Давайте исправим методику. Окружность, описанная вокруг треугольника в основании, будет равна ( R_{\text{осн}} = \frac{a}{\sqrt{3}} ), и она составляет часть радиуса полной описанной сферы.

Пересчитаем верно:

[ R = \sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} ] [ 2 = \sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1^2} ] [ 4 = \frac{a^2}{3} + 1 ] [ 3 = \frac{a^2}{3} ] [ a^2 = 9 ] [ a = 3 ]

Таким образом, сторона основания равна 3 дм.

Рисунок здесь, к сожалению, предоставить не могу, но вы можете нарисовать призму, где основание — равносторонний треугольник со стороной 3 дм, а высота призмы составляет 2 дм. Радиус сферы, описанной вокруг, изображается от центра треугольника до одной из вершин.