Три хорды окружности, образуют вписанный в эту окружность треугольник. Известно, что длины двух хорд...

Для нахождения длины третьей хорды можно воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах. Пусть точки пересечения хорд образуют треугольник ABC, где AB = 4, BC = 4, то есть длины двух хорд равны R. Тогда третья хорда AC будет перпендикулярна к хорде BC в точке пересечения и будет равна диаметру окружности. Таким образом, третья хорда AC равна 8 при R=4.

Для того чтобы найти длину третьей хорды треугольника, вписанного в окружность радиусом ( R = 4 ), когда две из его хорд равны ( R ) (то есть 4), начнем с анализа данной геометрической ситуации.

Постановка задачи:

1. Имеем окружность с радиусом ( R = 4 ).
2. Треугольник вписан в эту окружность.
3. Длины двух хорд (сторон треугольника) равны радиусу окружности, то есть ( AB = AC = 4 ).
4. Требуется найти длину третьей хорды ( BC ).

Решение:

Треугольник ( ABC ) вписан в окружность с радиусом ( R = 4 ) и двумя сторонами, равными радиусу. Поскольку ( AB ) и ( AC ) равны радиусу, это означает, что ( A ) находится на окружности и углы ( \angle BOC ) и ( \angle A ) имеют определенные отношения.

Рассмотрим центральные углы, опирающиеся на хорды ( AB ) и ( AC ). Поскольку ( AB = AC = 4 ), это означает, что соответствующие центральные углы равны. Пусть центральный угол между ( OB ) и ( OC ) равен ( \theta ).

Используем свойства вписанных и центральных углов:

Центральный угол ( \theta ) в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Обозначим центральный угол как ( 2\alpha ). Следовательно, угол у основания ( \angle BAC = \alpha ).

Поскольку ( AB ) и ( AC ) равны радиусу, треугольник ( OAB ) и ( OAC ) являются равнобедренными, и угол между ними при вершине ( O ) равен ( 2\alpha ).

Применяем теорему косинусов:

Для нахождения длины третьей стороны ( BC ) в треугольнике ( ABC ), применим теорему косинусов: [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) ]

Подставляем известные значения: [ BC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos(\alpha) ]

Поскольку ( \alpha ) - это угол, опирающийся на дугу ( BC ) и ( \theta = 2\alpha ). Для равнобедренного треугольника с вершинами на окружности, ( \cos(\alpha) ) связана с центральным углом ( 2\alpha ): [ \cos(\alpha) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) ]

Подставляем значения и упрощаем:

[ BC^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \cos(\alpha) = 32 - 32 \cdot \cos(\alpha) ]

Для вписанного угла, где ( \alpha = \frac{\pi}{3} ) (так как треугольник равнобедренный и ( \alpha = 60^\circ )):

[ \cos(\alpha) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ]

Тогда: [ BC^2 = 32 - 32 \cdot \frac{1}{2} = 32 - 16 = 16 ]

Отсюда: [ BC = \sqrt{16} = 4 ]

Таким образом, длина третьей хорды ( BC ) равна 4.