Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника...

Давайте подробно разберем задачу.

Условие:

Треугольники ( \triangle ABC ) и ( \triangle A_1B_1C_1 ) подобны. Их сходственные стороны относятся как ( \frac{6}{5} ), то есть коэффициент подобия ( k = \frac{6}{5} ). Известно, что площадь треугольника ( \triangle ABC ) больше площади треугольника ( \triangle A_1B_1C_1 ) на ( 77 \, \text{см}^2 ). Требуется найти площади обоих треугольников.

Решение:

1. Коэффициент подобия и площади треугольников

Из теории подобия треугольников известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Пусть площади треугольников обозначим как:

• ( S ) — площадь ( \triangle ABC ),
• ( S_1 ) — площадь ( \triangle A_1B_1C_1 ).

Тогда: [ \frac{S}{S_1} = k^2. ]

Так как ( k = \frac{6}{5} ), то: [ k^2 = \left( \frac{6}{5} \right)^2 = \frac{36}{25}. ]

Таким образом, отношение площадей треугольников: [ \frac{S}{S_1} = \frac{36}{25}. ]

2. Разность площадей

По условию, разность площадей треугольников — ( S - S_1 = 77 \, \text{см}^2 ). Используем это уравнение вместе с соотношением площадей.

Пусть площадь меньшего треугольника ( S_1 = x ). Тогда площадь большего треугольника ( S ) можно выразить через ( x ) как: [ S = \frac{36}{25} \cdot x. ]

Подставляем это в уравнение для разности площадей: [ S - S_1 = 77. ]

Подставим ( S = \frac{36}{25} \cdot x ): [ \frac{36}{25} \cdot x - x = 77. ]

Приведем к общему знаменателю: [ \frac{36x}{25} - \frac{25x}{25} = 77. ]

Упростим: [ \frac{11x}{25} = 77. ]

3. Найдем ( x ), то есть ( S_1 )

Умножим обе части уравнения на ( 25 ), чтобы избавиться от дроби: [ 11x = 1925. ]

Разделим обе части уравнения на ( 11 ): [ x = \frac{1925}{11} = 175. ]

Таким образом, площадь меньшего треугольника: [ S_1 = 175 \, \text{см}^2. ]

4. Найдем ( S ), то есть площадь большего треугольника

Площадь большего треугольника: [ S = \frac{36}{25} \cdot S_1 = \frac{36}{25} \cdot 175. ]

Упростим: [ S = \frac{36 \cdot 175}{25} = \frac{6300}{25} = 252. ]

Таким образом, площадь большего треугольника: [ S = 252 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

• Площадь ( \triangle ABC = 252 \, \text{см}^2 ),
• Площадь ( \triangle A_1B_1C_1 = 175 \, \text{см}^2 ).

Давайте рассмотрим подобие треугольников ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ). Поскольку треугольники подобны, их сходственные стороны относятся как ( 6:5 ).

Обозначим стороны треугольника ( ABC ) как ( a, b, c ) и стороны треугольника ( A_1B_1C_1 ) как ( a_1, b_1, c_1 ). Тогда мы можем записать:

[ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = \frac{6}{5} ]

Поскольку площади подобных треугольников относятся как квадрат отношения их сходственных сторон, мы можем выразить отношение площадей следующим образом:

[ \frac{S{ABC}}{S{A_1B_1C_1}} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} ]

Обозначим площадь треугольника ( ABC ) как ( S ), а площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ) как ( S_1 ). Тогда мы можем записать:

[ \frac{S}{S_1} = \frac{36}{25} ]

Из этого следует, что:

[ S = \frac{36}{25} S_1 ]

По условию задачи, площадь треугольника ( ABC ) больше площади треугольника ( A_1B_1C_1 ) на ( 77 \, \text{см}^2 ):

[ S - S_1 = 77 ]

Теперь подставим значение ( S ) из первого уравнения во второе уравнение:

[ \frac{36}{25} S_1 - S_1 = 77 ]

Приведем дроби к общему знаменателю:

[ \left(\frac{36}{25} - \frac{25}{25}\right) S_1 = 77 ]

Это упростится до:

[ \frac{11}{25} S_1 = 77 ]

Теперь умножим обе стороны на ( \frac{25}{11} ):

[ S_1 = 77 \cdot \frac{25}{11} = \frac{1925}{11} \approx 175 \, \text{см}^2 ]

Теперь подставим ( S_1 ) обратно, чтобы найти ( S ):

[ S = \frac{36}{25} S_1 = \frac{36}{25} \cdot \frac{1925}{11} = \frac{69300}{275} = \frac{69300 \div 25}{275 \div 25} = \frac{2772}{11} \approx 252 \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площади треугольников:

• Площадь треугольника ( ABC ) (больший треугольник) составляет ( S \approx 252 \, \text{см}^2 ).
• Площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ) (меньший треугольник) составляет ( S_1 \approx 175 \, \text{см}^2 ).

Ответ:

• Площадь треугольника ( ABC ) составляет ( 252 \, \text{см}^2 ).
• Площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ) составляет ( 175 \, \text{см}^2 ).

Пусть площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ) равна ( S ) см². Тогда площадь треугольника ( ABC ) равна ( S + 77 ) см².

Так как треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения сходственных сторон:

[ \frac{S + 77}{S} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} ]

Умножим обе стороны на ( 25S ):

[ 25(S + 77) = 36S ]

Раскроем скобки:

[ 25S + 1925 = 36S ]

Переносим ( 25S ) на правую сторону:

[ 1925 = 36S - 25S ]

[ 1925 = 11S ]

Теперь находим ( S ):

[ S = \frac{1925}{11} \approx 175 ]

Площадь треугольника ( A_1B_1C_1 ) равна ( 175 ) см², а площадь треугольника ( ABC ) равна ( 175 + 77 = 252 ) см².

Таким образом, площади треугольников:

• ( S_{ABC} = 252 ) см²
• ( S_{A_1B_1C_1} = 175 ) см².