Треугольник со сторонами в 9 см 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла. Определить объём и поверхность полученного тела
Треугольник со сторонами в 9 см 10 см и 17 см вращается вокруг высоты, проведённой из вершины его меньшего угла. Определить объём и поверхность полученного тела
Давайте подробно разберем задачу.
У нас есть треугольник со сторонами 9 см, 10 см и 17 см. Поскольку 17 см — наибольшая сторона, это, скорее всего, гипотенуза, а треугольник — прямоугольный, потому что (9^2 + 10^2 = 81 + 100 = 181) и это не равно (17^2 = 289), значит, треугольник не прямоугольный. Однако проверим стороны на возможность образования треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.
Проверяем:
Все условия выполняются, значит, треугольник существует.
Теперь определим, какой из углов треугольника является наименьшим. В неравенстве треугольника напротив наименьшей стороны находится наименьший угол. У нас есть стороны 9 см, 10 см и 17 см.
Наименьшая сторона — 9 см, следовательно, наименьший угол будет напротив этой стороны. Высота, проведенная из вершины этого угла, будет опускаться на сторону 10 см.
Рассмотрим процесс нахождения высоты. Для этого нам нужно сначала найти площадь треугольника с помощью формулы Герона:
Полупериметр (p) треугольника: [ p = \frac{9 + 10 + 17}{2} = 18 ]
Площадь (S) треугольника: [ S = \sqrt{18 \times (18 - 9) \times (18 - 10) \times (18 - 17)} ] [ S = \sqrt{18 \times 9 \times 8 \times 1} = \sqrt{1296} = 36 \text{ см}^2 ]
Высота (h), опущенная на сторону 10 см, находится по формуле площади: [ S = \frac{1}{2} \times 10 \times h = 36 ] [ h = \frac{36 \times 2}{10} = 7.2 \text{ см} ]
Теперь, когда треугольник вращается вокруг этой высоты, он образует конус. Найдем объём и поверхность этого конуса.
Объём конуса (V): [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
Радиус основания конуса (r) равен половине стороны, на которую опущена высота, то есть 5 см (поскольку это половина стороны 10 см). Высота (h = 7.2) см.
[ V = \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 7.2 = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 7.2 = \frac{1}{3} \times 180 \pi = 60 \pi \approx 188.4 \text{ см}^3 ]
Полная поверхность конуса (A): [ A = \pi r (r + l) ]
где (l) — образующая конуса. Найдем (l) по теореме Пифагора в треугольнике, образуемом высотой, радиусом и образующей: [ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 7.2^2} = \sqrt{25 + 51.84} = \sqrt{76.84} \approx 8.77 \text{ см} ]
Теперь можем найти поверхность: [ A = \pi \times 5 \times (5 + 8.77) = \pi \times 5 \times 13.77 \approx 216.15 \text{ см}^2 ]
Таким образом, объём полученного тела составляет примерно 188.4 см³, а полная поверхность — примерно 216.15 см².
Для решения данной задачи нам необходимо определить, какое тело получится при вращении треугольника вокруг проведенной из вершины его меньшего угла высоты. После вращения треугольника вокруг этой высоты получится конус.
Для начала определим площадь треугольника по формуле полупериметра: s = (a + b + c) / 2, где a, b, c - длины сторон треугольника: 9 см, 10 см, 17 см.
s = (9 + 10 + 17) / 2 = 18 см.
Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона: S = √(s (s - a) (s - b) * (s - c)), где S - площадь треугольника.
S = √(18 (18 - 9) (18 - 10) (18 - 17)) = √(18 9 8 1) = √1296 = 36 см^2.
Таким образом, площадь треугольника равна 36 квадратным сантиметрам.
Теперь найдем объем и площадь полученного конуса. Объем конуса можно найти по формуле: V = (1/3) S h, где V - объем конуса, S - площадь основания конуса (площадь треугольника), h - высота конуса.
V = (1/3) 36 9 = 108 см^3.
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: P = π r l, где P - площадь боковой поверхности конуса, r - радиус основания конуса (половина стороны 17 см), l - образующая конуса.
r = 17 / 2 = 8.5 см.
l = √(8.5^2 + 9^2) = √(72.25 + 81) = √153.25 ≈ 12.38 см.
P = π 8.5 12.38 ≈ 326.73 см^2.
Итак, объем полученного конуса равен 108 кубическим сантиметрам, а его площадь поверхности составляет примерно 326.73 квадратных сантиметра.
