Треугольник NKM. Угол K = 90 градусов. KP - высота. Угол M = 30 градусов. MN = 36 см. Найти MP И PN

В данном треугольнике NKM, где угол K является прямым (90 градусов), и угол M равен 30 градусам, можно применить свойства прямоугольного треугольника и свойства треугольника с углом в 30 градусов.

1. Определение сторон треугольника:

   Поскольку угол M равен 30 градусам, угол N будет равен 60 градусам (поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам: 180 - 90 - 30 = 60).

2. Используем свойства треугольника с углом 30 градусов:

   В прямоугольном треугольнике, если один из углов равен 30 градусам, то катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. В данном случае, сторона MN является гипотенузой, так как она лежит напротив прямого угла K.

   Пусть NK — катет, лежащий напротив угла 30 градусов (угла M). Тогда:

   [ NK = \frac{MN}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} ]

   Теперь, зная NK и MN, найдем катет KM, используя теорему Пифагора:

   [ KM = \sqrt{MN^2 - NK^2} = \sqrt{36^2 - 18^2} = \sqrt{1296 - 324} = \sqrt{972} = 18\sqrt{3} \text{ см} ]

3. Используем высоту KP:

   Высота KP в прямоугольном треугольнике делит его на два прямоугольных треугольника NPK и KPM.

   В треугольнике KPM, угол K равен 90 градусов, угол M равен 30 градусов. Таким образом, угол PKM будет равен 60 градусам.

   Для треугольника KPM:

   [ \tan(30^\circ) = \frac{KP}{KM} \quad \Rightarrow \quad KP = KM \cdot \tan(30^\circ) = 18\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 18 \text{ см} ]

4. Находим MP и PN:

   В треугольнике KPM, используя соотношения для 30 градусов, мы знаем, что:

   [ MP = \frac{KM}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} ]

   В треугольнике NPK:

   Зная, что NK = 18 см и KP = 18 см, и используя теорему Пифагора, найдем PN:

   [ PN = \sqrt{NK^2 - KP^2} = \sqrt{18^2 - 18^2} = \sqrt{324 - 324} = 0 \text{ см} ]

   Что является ошибкой, так как мы неправильно трактовали PN.

   На самом деле, для PN используем соотношение для треугольника с углом 60 градусов в треугольнике NPK:

   [ \cos(60^\circ) = \frac{PN}{NK} \quad \Rightarrow \quad PN = NK \cdot \cos(60^\circ) = 18 \times \frac{1}{2} = 9 \text{ см} ]

Таким образом, MP = (9\sqrt{3}) см, а PN = 9 см.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов в треугольнике NKM.

Сначала найдем длину стороны NK, используя теорему синусов: sin(30°) = MN / NK sin(30°) = 36 / NK NK = 36 / sin(30°) NK ≈ 72 см

Теперь найдем длину стороны NM, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике NKM: NK^2 = NM^2 + MK^2 72^2 = 36^2 + MK^2 MK^2 = 72^2 - 36^2 MK ≈ √(72^2 - 36^2) MK ≈ √(5184 - 1296) MK ≈ √3898 MK ≈ 62.47 см

Теперь, найдем длины отрезков MP и PN: MP = MK sin(30°) MP = 62.47 sin(30°) MP ≈ 31.23 см

PN = MK cos(30°) PN = 62.47 cos(30°) PN ≈ 54.14 см

Итак, MP ≈ 31.23 см, а PN ≈ 54.14 см.