Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-6;1), N(2;4), K(2;-2). а) Докажите, что Δ MNK –...

Для решения задачи рассмотрим треугольник ( \Delta MNK ), заданный координатами вершин ( M(-6;1) ), ( N(2;4) ) и ( K(2;-2) ).

а) Докажите, что ( \Delta MNK ) – равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, необходимо показать, что хотя бы две его стороны равны.

1. Найдем длины сторон треугольника с помощью формулы для расстояния между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ): [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

2. Найдем длину стороны ( MN ): [ MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} ]

3. Найдем длину стороны ( MK ): [ MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} ]

4. Найдем длину стороны ( NK ): [ NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6 ]

Теперь сравним длины сторон:

• ( MN = \sqrt{73} )
• ( MK = \sqrt{73} )
• ( NK = 6 )

Мы видим, что ( MN = MK ). Таким образом, треугольник ( \Delta MNK ) является равнобедренным, так как две его стороны равны.

б) Найдите высоту, проведенную из вершины ( M ).

Для нахождения высоты из вершины ( M ) на сторону ( NK ), нам нужно определить уравнение прямой, проходящей через точки ( N ) и ( K ), а затем найти перпендикулярное расстояние от точки ( M ) до этой прямой.

1. Найдем уравнение прямой ( NK ):

   • Координаты точек ( N(2;4) ) и ( K(2;-2) ) указывают, что прямая вертикальная (параллельная оси ( y )), следовательно, её уравнение: [ x = 2 ]

2. Найдем расстояние от точки ( M(-6;1) ) до прямой ( NK ):

   • Поскольку прямая ( NK ) вертикальная, расстояние до неё равно разности по оси ( x ): [ d = |xM - x{NK}| = |-6 - 2| = |-8| = 8 ]

Таким образом, высота, проведенная из вершины ( M ) на сторону ( NK ), равна ( 8 ) единиц.

Ответ:

а) Треугольник ( \Delta MNK ) является равнобедренным, так как ( MN = MK ).
б) Высота, проведенная из вершины ( M ) на сторону ( NK ), равна ( 8 ) единиц.

Рассмотрим треугольник ( \triangle MNK ), заданный координатами своих вершин: ( M(-6; 1) ), ( N(2; 4) ), ( K(2; -2) ). Решим поставленные задачи шаг за шагом.

а) Докажем, что ( \triangle MNK ) является равнобедренным.

Для доказательства, что треугольник равнобедренный, необходимо показать, что длины двух сторон треугольника равны. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками ( A(x_1, y_1) ) и ( B(x_2, y_2) ): [ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ]

Найдём длины сторон ( MN ), ( MK ) и ( NK ).

1. Найдём длину стороны ( MN ): [ MN = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}. ]

2. Найдём длину стороны ( MK ): [ MK = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}. ]

3. Найдём длину стороны ( NK ): [ NK = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6. ]

Теперь сравним длины сторон: [ MN = MK = \sqrt{73}, \quad NK = 6. ]

Так как ( MN = MK ), то треугольник ( \triangle MNK ) является равнобедренным (по определению равнобедренного треугольника).

б) Найдём высоту, проведённую из вершины ( M ).

Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины ( M ) на противоположную сторону ( NK ). Так как ( NK ) является основанием треугольника, начнём с нахождения уравнения прямой, проходящей через ( N(2; 4) ) и ( K(2; -2) ).

1. Уравнение стороны ( NK ):

Прямые, параллельные оси ( Oy ), имеют уравнение вида ( x = c ), где ( c ) – абсцисса всех точек на прямой.

Так как ( N(2; 4) ) и ( K(2; -2) ) имеют одинаковую абсциссу ( x = 2 ), уравнение прямой ( NK ): [ x = 2. ]

1. Высота из точки ( M(-6; 1) ):

Высота, проведённая из точки ( M ), перпендикулярна прямой ( NK ). Так как ( NK ) – вертикальная прямая (( x = 2 )), то высота будет горизонтальной. Горизонтальная прямая имеет уравнение вида ( y = c ), где ( c ) – ордината всех точек на прямой.

Ордината точки ( M ) равна 1, значит, уравнение высоты: [ y = 1. ]

1. Точка пересечения высоты с прямой ( NK ):

Высота пересекает сторону ( NK ) в точке, координаты которой удовлетворяют уравнениям ( x = 2 ) (уравнение ( NK )) и ( y = 1 ) (уравнение высоты). Подставляем: [ x = 2, \quad y = 1. ]

Точка пересечения – ( P(2; 1) ).

1. Длина высоты:

Длина высоты равна расстоянию между точками ( M(-6; 1) ) и ( P(2; 1) ). Найдём это расстояние: [ MP = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2} = 8. ]

Ответ:

а) Треугольник ( \triangle MNK ) равнобедренный, так как ( MN = MK = \sqrt{73} ).

б) Длина высоты, проведённой из вершины ( M ), равна ( 8 ).