Треугольник АВС и квадрат AEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М - середины отрезков АВ и ВС соответственно....

а) Для доказательства того, что отрезок КМ параллелен отрезку EF, построим прямую, проходящую через точки К и М, и прямую, проходящую через точки E и F. Так как К и М - середины отрезков, то отрезок КМ будет параллелен отрезку EF.

б) Так как АЕ=8 см, то отрезки АК, КМ и МС будут равны по 4 см каждый. Следовательно, длина отрезка КМ будет равна 8 см.

Для решения задачи важно понять, что данные фигуры находятся в разных плоскостях, но мы можем использовать их проекции на одну плоскость для упрощения решения.

а) Для доказательства параллельности отрезков КМ и EF начнем с рассмотрения свойств серединных линий в треугольнике и свойств параллелограмма, которые могут быть образованы в квадрате.

1. Точки К и М являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC. По свойству серединной линии в треугольнике, отрезок KM, соединяющий середины двух сторон треугольника, будет параллелен третьей стороне AC и равен её половине.

2. Квадрат AEFC лежит в другой плоскости, и EF является одной из его сторон. Так как квадрат имеет все стороны равные и параллельные друг другу, EF параллельна AC (если представить, что квадрат и треугольник проецируются на одну плоскость).

Из пунктов 1 и 2 следует, что KM параллелен EF, так как оба эти отрезка параллельны одной и той же линии AC.

б) Чтобы найти длину KM, учитывая, что AE = 8 см и AEFC - квадрат, мы можем использовать следующие рассуждения:

1. EF, как сторона квадрата, также имеет длину 8 см.

2. KM, как было установлено, параллелен EF и, следовательно, также будет равен половине длины стороны AC треугольника ABC, если предположить, что треугольник ABC и квадрат AEFC проецируются на одну плоскость таким образом, что AC и EF оказываются параллельными.

3. Если AC = EF (при условии, что проецируемые фигуры рассматриваются как лежащие в одной плоскости), тогда AC = 8 см. Тогда KM, равен половине AC, то есть KM = 4 см.

Таким образом, длина KM равна 4 см.