Треугольник ABC задан координатами своих вершин A(2; 2корней из 3) B(0,0) C(3; корень из 3). Найдите...

Для того чтобы найти углы треугольника ( ABC ), заданного вершинами ( A(2, 2\sqrt{3}) ), ( B(0, 0) ) и ( C(3, \sqrt{3}) ), можно воспользоваться несколькими методами. Один из самых удобных способов — это применение формулы косинуса угла через координаты вершин.

Шаг 1: Найти длины сторон треугольника

Вычислим длины сторон ( AB ), ( BC ) и ( CA ) с помощью формулы расстояния между двумя точками в координатной плоскости: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

1. Длина стороны ( AB ): [ AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 ]

2. Длина стороны ( BC ): [ BC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

3. Длина стороны ( CA ): [ CA = \sqrt{(3 - 2)^2 + (\sqrt{3} - 2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ]

Шаг 2: Найти косинусы углов с помощью теоремы косинусов

Используем теорему косинусов для вычисления косинусов углов треугольника. Теорема косинусов гласит: [ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} ] [ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} ] [ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} ]

Обозначим длины сторон: [ a = BC = 2\sqrt{3} ] [ b = CA = 2 ] [ c = AB = 4 ]

Теперь подставим эти значения в формулы.

1. (\cos A): [ \cos A = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2^2 - 4^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{12 + 4 - 16}{8\sqrt{3}} = \frac{0}{8\sqrt{3}} = 0 ] Это означает, что угол ( A ) равен ( \frac{\pi}{2} ) или ( 90^\circ ).

2. (\cos B): [ \cos B = \frac{2^2 + 4^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot 4} = \frac{4 + 16 - 12}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} ] Это означает, что угол ( B ) равен ( \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ ) или ( \frac{\pi}{3} ).

3. (\cos C): [ \cos C = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4} = \frac{12 + 16 - 4}{16\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ] Это означает, что угол ( C ) равен ( \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ ) или ( \frac{\pi}{6} ).

Шаг 3: Проверка суммой углов треугольника

Сумма углов треугольника должна быть ( 180^\circ ) или ( \pi ) радиан: [ 90^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 180^\circ ]

Ответ

Таким образом, углы треугольника ( ABC ) равны:

• Угол ( A ) равен ( 90^\circ ).
• Угол ( B ) равен ( 60^\circ ).
• Угол ( C ) равен ( 30^\circ ).

Для нахождения углов треугольника ABC можно воспользоваться формулой косинусов.

Для этого сначала найдем длины сторон треугольника.

Сторона AB: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - 2)^2 + (0 - 2√3)^2) = √(4 + 12) = √16 = 4

Сторона BC: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((3 - 0)^2 + (√3 - 0)^2) = √(9 + 3) = √12 = 2√3

Сторона AC: AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((3 - 2)^2 + (√3 - 2√3)^2) = √(1 + 3) = 2

Теперь найдем углы треугольника:

Угол A: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc cos(A) = (4^2 + 2^2 - 2^2) / (242√3) cos(A) = (16 + 4 - 4) / 16√3 cos(A) = 16 / 16√3 cos(A) = 1 / √3 A = arccos(1 / √3)

Угол B: cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac cos(B) = (2^2 + 2^2 - 4^2) / (222) cos(B) = (4 + 4 - 16) / 8 cos(B) = -8 / 8 cos(B) = -1 B = arccos(-1)

Угол C: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab cos(C) = (2^2 + 4^2 - (2√3)^2) / (224) cos(C) = (4 + 16 - 12) / 16 cos(C) = 8 / 16 cos(C) = 1 / 2 C = arccos(1 / 2)

Таким образом, углы треугольника ABC равны: Угол A ≈ 30° Угол B = 180° Угол C ≈ 60°.

Для нахождения углов треугольника ABC можно воспользоваться формулой косинусов, которая позволяет найти углы по координатам вершин и длинам сторон.