Точки D и E - середины сторон AB и BC треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AC,причем AM=MN=NC, вектор AM=вектору a, вектор AD=вектору b а) Выразить векторы AE, BN, EN через векторы a и b. б) Доказать с помощью векторов,что BN параллелен DM
а) Вектор AE равен полусумме векторов AB и AD: AE = (AB + AD) / 2 = (AB + b) / 2
Вектор BN равен полусумме векторов BC и CN: BN = (BC + CN) / 2 = (BC + AM) / 2 = (BC + a) / 2
Вектор EN равен вектору CN минус вектору CE: EN = CN - CE = AM - AE = a - (AB + AD) / 2
б) Для доказательства того, что вектор BN параллелен вектору DM, нужно убедиться, что их направляющие векторы коллинеарны. Посмотрим на вектор BN и DM:
BN = (BC + AM) / 2 = (BC + a) / 2 DM = (AD + DC) / 2 = (b + BC) / 2
Теперь найдем их направляющие векторы:
Направляющий вектор BN: (BC + a) / 2 - BC = a / 2 Направляющий вектор DM: (b + BC) / 2 - BC = b / 2
Таким образом, направляющие векторы BN и DM равны a / 2 и b / 2 соответственно. Если векторы коллинеарны, то их можно представить как кратные друг другу. Для этого найдем коэффициент k, при котором a / 2 = k * b / 2:
a / 2 = k b / 2 a = k b
Таким образом, если векторы a и b коллинеарны, то BN параллелен DM.
а) Вектор AE = 1/2(a + b), вектор BN = 1/2(a - b), вектор EN = 1/2(a - b) б) Для доказательства параллельности BN и DM нужно показать, что их векторы коллинеарны. Вектор BN = 1/2(a - b), а вектор DM = 1/2(a + b). Разность векторов BN и DM равна (1/2(a - b)) - (1/2(a + b)) = 1/2(a - b) - 1/2(a + b) = -b, что пропорционально вектору AD = b. Следовательно, BN параллелен DM.
а) Для начала выразим векторы AE, BN, и EN через векторы a и b.
Вектор AE: Точка E - середина стороны BC, следовательно вектор BE = 1/2 вектора BC. Так как E - середина, то вектор BE = вектор EC. Вектор AE можно выразить через векторы AB и BE. Так как D также является серединой AB, то вектор AB = 2 вектор AD = 2b. Вектор BC = вектор AB + вектор AC = 2b + a. Вектор BE = 1/2 вектора BC = 1/2 (2b + a) = b + 1/2a. Следовательно, вектор AE = вектор AD + вектор DE = b + b + 1/2a = 2b + 1/2a.
Вектор BN: Точка N делит сторону AC на три равные части, поэтому AC = 3 * вектор AM = 3a. Вектор AN = 2/3 вектора AC = 2a. Таким образом, вектор BN = вектор AN - вектор AB = 2a - 2b.
Вектор EN: Вектор EN = вектор AN - вектор AE = 2a - (2b + 1/2a) = 3/2a - 2b.
б) Для доказательства, что BN параллелен DM, нам необходимо показать, что эти векторы пропорциональны.
Вектор DM: Так как D - середина AB, то вектор AD = 1/2 вектора AB = b. Точка M делит сторону AC на три равные части, поэтому вектор AM = 1/3 вектора AC = a. Вектор DM = вектор AM - вектор AD = a - b.
Сравним векторы DM и BN: Вектор BN = 2a - 2b, вектор DM = a - b. Оба вектора можно представить как кратные друг другу: BN = 2 (a - b) = 2 DM. Это означает, что векторы BN и DM коллинеарны, а следовательно и параллельны.
Таким образом, мы доказали, что векторы BN и DM параллельны, используя векторное представление данных отрезков.
