Точки abcd не лежат в одной плоскости. Точки efmk - середины отрезков ab,bc,cd,ad соответственно. Докажите,...

Для доказательства того, что EFKM - параллелограмм, рассмотрим отрезки EF и KM. Поскольку E и F - середины отрезков AB и BC, соответственно, то EF || AC по свойству серединного перпендикуляра. Аналогично, KM || AC, так как K и M - середины отрезков CD и AD. Следовательно, EF || KM.

Теперь найдем периметр параллелограмма EFKM. Поскольку EF и KM параллельны и равны по длине (половина отрезков AC и BD), то стороны EF и KM также равны между собой. Пусть длина каждой из сторон EF и KM равна x.

Тогда периметр параллелограмма EFKM равен 2x + 2x = 4x.

Известно, что AC = 6 см и BD = 8 см. Так как E и F - середины отрезков AB и BC, то EF = 1/2 AB = 1/2 6 = 3 см. Аналогично, KM = 1/2 CD = 1/2 8 = 4 см.

Следовательно, периметр EFKM равен 4 * 3 = 12 см.

Давайте рассмотрим задачу по порядку.

Доказательство того, что EFKM является параллелограммом

1. Точки E, F, K, M - это середины отрезков AB, BC, CD, AD соответственно. Давайте запишем их координаты, используя координаты точек A, B, C и D:

   • ( E = \left(\frac{A + B}{2}\right) )
   • ( F = \left(\frac{B + C}{2}\right) )
   • ( K = \left(\frac{C + D}{2}\right) )
   • ( M = \left(\frac{A + D}{2}\right) )

2. Докажем, что EF параллельно MK и равно по длине:

   • Вектор ( \overrightarrow{EF} = F - E = \left(\frac{B + C}{2} - \frac{A + B}{2}\right) = \frac{C - A}{2} )
   • Вектор ( \overrightarrow{MK} = K - M = \left(\frac{C + D}{2} - \frac{A + D}{2}\right) = \frac{C - A}{2} )
   • Таким образом, ( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{MK} ), что означает, что отрезки EF и MK параллельны и равны по длине.

3. Докажем, что EM параллельно FK и равно по длине:

   • Вектор ( \overrightarrow{EM} = M - E = \left(\frac{A + D}{2} - \frac{A + B}{2}\right) = \frac{D - B}{2} )
   • Вектор ( \overrightarrow{FK} = K - F = \left(\frac{C + D}{2} - \frac{B + C}{2}\right) = \frac{D - B}{2} )
   • Таким образом, ( \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{FK} ), что означает, что отрезки EM и FK параллельны и равны по длине.

Поскольку противоположные стороны четырехугольника EFKM параллельны и равны по длине, EFKM - это параллелограмм.

Найдем периметр параллелограмма EFKM

1. Расстояние между противоположными вершинами:

   • ( AC = 6 ) см
   • ( BD = 8 ) см

2. Длина каждой стороны параллелограмма:

   • ( EF = \frac{AC}{2} = 3 ) см
   • ( EM = \frac{BD}{2} = 4 ) см

3. Периметр параллелограмма:

   • Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон:
   • ( P = 2 \times (EF + EM) = 2 \times (3 + 4) = 2 \times 7 = 14 ) см

Таким образом, периметр параллелограмма EFKM составляет 14 см.