Точки A(2;4;5) и B(8;2;7) являются диаметрально противоположными точками сферы. Найдите уравнение сферы.

Уравнение сферы можно записать в виде:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 ]

где ((x_0, y_0, z_0)) — центр сферы, а (r) — радиус.

Центр сферы находится как середина отрезка AB:

[ x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6 ]

Таким образом, центр сферы (C(5; 3; 6)).

Радиус (r) равен половине расстояния между точками A и B:

[ r = \frac{1}{2} \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 4)^2 + (7 - 5)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 4 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{44} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \sqrt{11} ]

Теперь подставим значения в уравнение сферы:

[ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = (\sqrt{11})^2 ]

Уравнение сферы:

[ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = 11 ]

Для нахождения уравнения сферы требуется знать центр сферы и её радиус. В задаче нам даны две точки ( A(2; 4; 5) ) и ( B(8; 2; 7) ), которые являются диаметрально противоположными точками сферы. Это позволяет нам найти центр и радиус сферы следующим образом:

1. Нахождение центра сферы

Центр сферы ( C(x_c, y_c, z_c) ) находится в середине отрезка, соединяющего точки ( A ) и ( B ). Чтобы найти координаты центра, используем формулы средней точки: [ x_c = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_c = \frac{y_A + y_B}{2}, \quad z_c = \frac{z_A + z_B}{2}. ] Подставим координаты точек ( A(2; 4; 5) ) и ( B(8; 2; 7) ): [ x_c = \frac{2 + 8}{2} = 5, \quad y_c = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad z_c = \frac{5 + 7}{2} = 6. ] Таким образом, ( C(5; 3; 6) ) — это центр сферы.

2. Нахождение радиуса сферы

Радиус сферы равен половине длины отрезка ( AB ). Сначала найдём длину отрезка ( AB ) по формуле расстояния между двумя точками: [ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}. ] Подставим координаты точек ( A(2; 4; 5) ) и ( B(8; 2; 7) ): [ AB = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 4)^2 + (7 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 2^2}. ] Выполним вычисления: [ AB = \sqrt{36 + 4 + 4} = \sqrt{44}. ] Радиус ( R ) равен половине длины отрезка ( AB ): [ R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{44}}{2} = \frac{2\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11}. ]

3. Уравнение сферы

Общее уравнение сферы имеет вид: [ (x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 + (z - z_c)^2 = R^2, ] где ( (x_c, y_c, z_c) ) — координаты центра, а ( R ) — радиус.

Подставим найденные значения ( x_c = 5 ), ( y_c = 3 ), ( z_c = 6 ) и ( R^2 = (\sqrt{11})^2 = 11 ): [ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = 11. ]

Ответ:

Уравнение сферы: [ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = 11. ]

Для нахождения уравнения сферы, заданной двумя диаметрально противоположными точками A и B, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Определение центра сферы: Центр сферы находится в середине отрезка AB. Координаты центра C можно вычислить по формуле:

   [ C = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) ]

   Подставим координаты точек A(2, 4, 5) и B(8, 2, 7):

   [ C = \left( \frac{2 + 8}{2}, \frac{4 + 2}{2}, \frac{5 + 7}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{6}{2}, \frac{12}{2} \right) = (5, 3, 6) ]

2. Определение радиуса сферы: Радиус сферы равен половине длины отрезка AB. Сначала найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

   [ d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} ]

   Подставим координаты:

   [ d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 4)^2 + (7 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4 + 4} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} ]

   Радиус r равен половине длины отрезка AB:

   [ r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{11}}{2} = \sqrt{11} ]

3. Запись уравнения сферы: Уравнение сферы с центром в точке C(x_0, y_0, z_0) и радиусом r имеет вид:

   [ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 ]

   Подставим координаты центра C(5, 3, 6) и радиус r = (\sqrt{11}):

   [ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = (\sqrt{11})^2 ]

   Упростим:

   [ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = 11 ]

Таким образом, уравнение сферы, заданной точками A и B, будет:

[ (x - 5)^2 + (y - 3)^2 + (z - 6)^2 = 11 ]