Точки A(2;-4;1), B(-6;2;3) і D (4;0-1)вершини паралелограма ABCD .Знайдіть координати вершини C паралеграма...

Для того чтобы найти координаты вершины C параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то мы можем найти координаты вершины C, зная координаты вершин A, B и D.

Для этого сначала найдем векторы AB и AD: AB = B - A = (-6 - 2; 2 - (-4); 3 - 1) = (-8; 6; 2) AD = D - A = (4 - 2; 0 - (-4); -1 - 1) = (2; 4; -2)

Теперь найдем координаты вершины C: C = B + AD = (-6 + 2; 2 + 4; 3 - 2) = (-4; 6; 1)

Теперь найдем координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма. Для этого найдем векторы AC и BD: AC = C - A = (-4 - 2; 6 - (-4); 1 - 1) = (-6; 10; 0) BD = D - B = (4 + 6; 0 - 2; -1 - 3) = (10; -2; -4)

Точка пересечения диагоналей будет находиться на отрезке, соединяющем вершины A и C, и на отрезке, соединяющем вершины B и D. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелограмма будет иметь координаты: M = A + k AC = (2 - 6k; -4 + 10k; 1) = B + t BD = (-6 + 10t; 2 - 2t; 3 - 4t)

Решив систему уравнений, мы найдем значения k и t, а затем подставим их в одно из уравнений, чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей.

Для того, щоб знайти координати вершини C паралелограма ABCD, а також координати точки перетину його діагоналей, скористаємося властивостями паралелограма.

Крок 1: Знайти координати вершини C

Згідно з властивістю паралелограма, вектори протилежних сторін є рівними. Тобто, вектор (\overrightarrow{AB}) дорівнює вектору (\overrightarrow{DC}), і вектор (\overrightarrow{AD}) дорівнює вектору (\overrightarrow{BC}).

Спочатку знайдемо вектор (\overrightarrow{AB}): [ \overrightarrow{AB} = B - A = (-6 - 2, 2 - (-4), 3 - 1) = (-8, 6, 2) ]

Оскільки (\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}), можна записати: [ C - D = \overrightarrow{AB} ] [ C - (4, 0, -1) = (-8, 6, 2) ] [ C = (-8 + 4, 6 + 0, 2 + (-1)) = (-4, 6, 1) ]

Отже, координати вершини C паралелограма ABCD: [ C(-4, 6, 1) ]

Крок 2: Знайти координати точки перетину діагоналей

Відомо, що діагоналі паралелограма перетинаються в точці, яка ділить їх навпіл. Тому, щоб знайти координати точки перетину діагоналей, потрібно знайти середину відрізка між точками A і C або B і D.

Знайдемо середину відрізка AC: [ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) ] [ M = \left( \frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-4 + 6}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1, 1) ]

Перевіримо для відрізка BD: [ M = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) ] [ M = \left( \frac{-6 + 4}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{3 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-1, 1, 1) ]

Отже, координати точки перетину діагоналей паралелограма ABCD: [ M(-1, 1, 1) ]

Висновок

Координати вершини C паралелограма ABCD: [ C(-4, 6, 1) ]

Координати точки перетину діагоналей паралелограма ABCD: [ M(-1, 1, 1) ]

Координаты вершины C параллелограма можно найти, используя свойство параллелограмма, что диагонали пересекаются в их середине. Таким образом, координаты вершины C будут симметричны точке D относительно точки, в которой пересекаются диагонали.

Координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма можно найти как среднее арифметическое координат вершин А и С.