Точка М лежащая вне плоскости треугольника ABK соединена с его вершинами. D и E - точки пересечения...

Дано:

1. Треугольник ( \triangle ABK ).
2. Точка ( M ) лежит вне плоскости треугольника ( \triangle ABK ).
3. Точки ( D ) и ( E ) — точки пересечения медиан треугольников ( \triangle MAB ) и ( \triangle MBK ) соответственно.
4. ( AK = 14 ) см.

Решение:

Части (а): Доказательство того, что ( ADEK ) — трапеция

Для доказательства того, что четырёхугольник ( ADEK ) является трапецией, нам нужно показать, что хотя бы одна пара его противоположных сторон параллельна.

1. Рассмотрим медианы треугольников ( MAB ) и ( MBK ).

   • Точка ( D ) делит медиану ( AM ) треугольника ( MAB ) в отношении ( 2:1 ) (считая от вершины ( A )).
   • Точка ( E ) делит медиану ( BM ) треугольника ( MBK ) в отношении ( 2:1 ) (считая от вершины ( B )).

2. Рассмотрим медиану ( AK ) треугольника ( ABK ), которая соединяет вершину ( A ) и середину стороны ( BK ). Пусть точка пересечения медиан треугольника ( ABK ) — это точка ( G ) (центроид), которая делит медиану ( AK ) в отношении ( 2:1 ).

3. В треугольниках ( MAB ) и ( MBK ) медианы ( AM ) и ( BM ) также пересекаются в точках, которые делят каждую медиану в отношении ( 2:1 ).

4. Поскольку ( D ) и ( E ) — это центроиды треугольников ( MAB ) и ( MBK ) соответственно, они делят медианы в отношении ( 2:1 ). Таким образом, ( D ) и ( E ) лежат на прямых, параллельных сторонам треугольника ( ABK ) и проходят через медианы.

5. Вследствие этого, ( DE ) параллельна ( AK ), так как они обе являются средними линиями соответствующих треугольников и делят медианы в отношении ( 2:1 ).

Таким образом, четырёхугольник ( ADEK ) является трапецией, так как ( DE \parallel AK ).

Части (б): Вычисление длины ( DE )

Теперь нужно найти длину ( DE ), если ( AK = 14 ) см.

1. Центроид треугольника делит медиану в отношении ( 2:1 ). Следовательно, медиана ( AK ) делится точкой ( G ) на отрезки ( AG ) и ( GK ) длиной ( \frac{2}{3} AK ) и ( \frac{1}{3} AK ) соответственно.

2. Поскольку ( D ) и ( E ) делят медианы ( AM ) и ( BM ) в отношении ( 2:1 ), отрезок ( DE ) является средней линией трапеции ( ADEK ) и параллелен основанию ( AK ).

3. Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. В нашем случае одно из оснований ( AK ), а второе основание уменьшено вдвое, так как ( DE ) параллельна ( AK ).

Поскольку ( DE ) параллельна ( AK ) и является средней линией, то её длина равна половине длины ( AK ):

[ DE = \frac{1}{2} AK = \frac{1}{2} \times 14 \text{ см} = 7 \text{ см} ]

Ответы:

а) ( ADEK ) — трапеция. б) ( DE = 7 ) см.

Дано: точка М лежит вне плоскости треугольника ABK, точки D и E - точки пересечения медиан треугольников MАV и MВK соответственно, AK = 14 см.

а) Докажем, что ADEK - трапеция. Медиана треугольника делит ее на две равные части. Таким образом, точка D - середина стороны AV, а точка Е - середина стороны BK. Так как MD || AV и ME || BK (по свойству медиан), то углы ADE и KED равны противоположным углам треугольника ABK (углы A и К), а углы ADK и AEK равны противоположным углам треугольника ABK (углы B и C). Таким образом, у ADEK две пары противоположных углов равны, следовательно, ADEK - трапеция.

б) Найдем DE. Так как точка D - середина стороны AV, то AD = DV. Также, так как точка E - середина стороны BK, то BE = EK. По свойству медиан в треугольнике, MD = 2/3 AV и ME = 2/3 BK. Из этого следует, что DE = AD + AE = (AV + 2/3 AV) + (BK + 2/3 BK) = 5/3 AV + 5/3 BK = 5/3 AK = 5/3 14 = 70/3 см.

Ответ: DE = 70/3 см.