Точка К лежит на стороне АВ,а точка М-на стороне СД параллелограмма АВСД,причем АК=КВ,СМ:МД=2:5.Выразите...

Чтобы выразить вектор (\overrightarrow{KM}) через векторы (\mathbf{p} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{q} = \overrightarrow{AD}), давайте сначала разложим все векторы по базису, заданному этими векторами, и найдем координаты точек (K) и (M).

1. Определение точки (K):

Поскольку (K) лежит на стороне (AB) и (AK = KB), точка (K) делит отрезок (AB) пополам. Тогда:

[ \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \mathbf{p}. ]

Итак, координаты точки (K) относительно точки (A) будут ( \overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \mathbf{p} ).

1. Определение точки (M):

Точка (M) лежит на стороне (CD) и (CM:MD = 2:5). Это означает, что (M) делит отрезок (CD) в отношении (2:5). Определим вектор (\overrightarrow{CM}).

Зная, что (C) и (D) являются вершинами параллелограмма, можем выразить ( \overrightarrow{CD} ) через векторы ( \mathbf{p} ) и ( \mathbf{q} ):

[ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC} = \mathbf{q} - (-\mathbf{p}) = \mathbf{q} + \mathbf{p}. ]

Теперь используя отношение деления (2:5):

[ \overrightarrow{CM} = \frac{2}{2+5} \overrightarrow{CD} = \frac{2}{7} (\mathbf{q} + \mathbf{p}). ]

Так как точка (M) лежит на стороне (CD) и её координаты относительно точки (C) равны (\overrightarrow{CM}), то координаты точки (M) относительно точки (C) будут:

[ \overrightarrow{CM} = \frac{2}{7} (\mathbf{q} + \mathbf{p}). ]

1. Вычисление вектора (\overrightarrow{KM}):

Теперь нам нужно выразить вектор (\overrightarrow{KM}):

[ \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AM}. ]

Поскольку (\overrightarrow{KA} = -\overrightarrow{AK}), то:

[ \overrightarrow{KA} = -\frac{1}{2} \mathbf{p}. ]

Так как (\overrightarrow{AM}) можно выразить как сумму векторов:

[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM} = -\mathbf{p} + \frac{2}{7} (\mathbf{q} + \mathbf{p}). ]

Объединяя это:

[ \overrightarrow{AM} = -\mathbf{p} + \frac{2}{7} \mathbf{q} + \frac{2}{7} \mathbf{p} = -\mathbf{p} + \frac{2}{7} \mathbf{q} + \frac{2}{7} \mathbf{p} = -\mathbf{p} + \frac{2}{7} \mathbf{q} + \frac{2}{7} \mathbf{p} = -\mathbf{p} + \frac{2}{7} \mathbf{q} + \frac{2}{7} \mathbf{p} = -\frac{5}{7}\mathbf{p} + \frac{2}{7}\mathbf{q}. ]

Теперь добавим (\overrightarrow{KA}) и (\overrightarrow{AM}):

[ \overrightarrow{KM} = -\frac{1}{2} \mathbf{p} + \left( -\frac{5}{7}\mathbf{p} + \frac{2}{7}\mathbf{q} \right) = -\frac{1}{2} \mathbf{p} - \frac{5}{7}\mathbf{p} + \frac{2}{7}\mathbf{q}. ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \overrightarrow{KM} = -\frac{7}{14} \mathbf{p} - \frac{10}{14} \mathbf{p} + \frac{2}{7} \mathbf{q} = -\frac{17}{14} \mathbf{p} + \frac{2}{7} \mathbf{q} = -\frac{17}{14} \mathbf{p} + \frac{4}{14} \mathbf{q}. ]

Таким образом, вектор (\overrightarrow{KM}) через векторы (\mathbf{p}) и (\mathbf{q}) можно выразить следующим образом:

[ \overrightarrow{KM} = -\frac{17}{14} \mathbf{p} + \frac{4}{14} \mathbf{q}. ]

Для начала определим вектор КМ через векторы р=АВ и q=АD.

Так как точка К лежит на стороне АВ параллелограмма, то вектор КА равен вектору ВМ. Также, так как точка М лежит на стороне СД параллелограмма, то вектор МС равен вектору ДМ.

Из условия, что АК=КВ, получаем, что вектор КА равен вектору КВ, а значит, вектор КМ равен вектору ВМ. Таким образом, вектор КМ равен вектору ВМ, который можно выразить как разность векторов р=АВ и q=АD:

КМ = ВМ = ВС - МС = ВС - ДМ = (АВ + ВС) - (АД + ДМ) = р + q

Итак, вектор КМ можно выразить через векторы р=АВ и q=АD как сумму этих векторов: КМ = р + q.