Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что АD=АС. Известно,что САВ=80градусов и АСВ=59...

Конечно, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Дано:

   • Треугольник $ABC$
   • Точка $D$ на стороне $AB$ такая, что $AD=AC$
   • Угол $\mathrm{\angle }CAB={80}^{\circ }$
   • Угол $\mathrm{\angle }ACB={59}^{\circ }$
   • Найти угол $\mathrm{\angle }DCB$

2. Первоочередные вычисления:

   • Найдем угол $\mathrm{\angle }ABC$: $\mathrm{\angle }ABC={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }CAB-\mathrm{\angle }ACB={180}^{\circ }-{80}^{\circ }-{59}^{\circ }={41}^{\circ }$

3. Используем свойство равнобедренного треугольника:

   • Треугольник $ADC$ равнобедренный с $AD=AC$
   • Следовательно, углы при основании равны: $\mathrm{\angle }DAC=\mathrm{\angle }DCA$

4. Обозначим угол $\mathrm{\angle }DAC$ через $x$:

   • Тогда $\mathrm{\angle }DCA=x$
   • Зная, что $\mathrm{\angle }CAB={80}^{\circ }$, можно записать: $\mathrm{\angle }CAD={80}^{\circ }-x$

5. Используем свойства углов треугольника $ADC$:

   • В треугольнике $ADC$ сумма углов равна ${180}^{\circ }$: $\mathrm{\angle }CAD+\mathrm{\angle }DCA+\mathrm{\angle }ACD={180}^{\circ }$
   • Подставим известные значения: $({80}^{\circ }-x)+x+x={180}^{\circ }$ ${80}^{\circ }+x={180}^{\circ }$ $x={50}^{\circ }$

6. Теперь найдем угол $\mathrm{\angle }DBC$:

   • Угол $\mathrm{\angle }DBC$ равен углу $\mathrm{\angle }ABC$ минус угол $\mathrm{\angle }ABD$:
   • Так как $AD=AC$, треугольник $ADC$ равнобедренный, и $\mathrm{\angle }DAB=\mathrm{\angle }CAD={30}^{\circ }$: $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }ABC-\mathrm{\angle }DAB={41}^{\circ }-{30}^{\circ }={11}^{\circ }$

7. Наконец, находим угол $\mathrm{\angle }DCB$:

   • Угол $\mathrm{\angle }DCB$ равен $\mathrm{\angle }ACB-\mathrm{\angle }ACD$: $\mathrm{\angle }DCB=\mathrm{\angle }ACB-\mathrm{\angle }ACD={59}^{\circ }-{50}^{\circ }=9^{\circ }$

Ответ: угол $\mathrm{\angle }DCB$ равен $9^{\circ }$.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов.

Обозначим угол BAC как x. Тогда угол BCA равен 180 - 80 - x = 100 - x.

Используя теорему синусов для треугольника ABC, получаем: $$\frac{AD}{\sin 80}=\frac{AC}{\sin x}$$

$$AD=AC\cdot \frac{\sin 80}{\sin x}=AC\cdot \frac{\sin 80}{\sin 100-x}$$

Так как AD = AC, то $$\frac{\sin 80}{\sin x}=\frac{\sin 80}{\sin 100-x}$$

Отсюда получаем, что sin$x$ = sin$100-x$, что означает, что x = 50 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. Угол DCB равен 180 - 59 = 121 градус.