Точка А не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P,R,S и T - середины отрезков AB,AD,CD и BC соответственно. а)докажите, что PRST-параллелограмм б)найдите AC,если BD=6 см, а периметр PRST равен 14 см.
Точка А не лежит в плоскости треугольника BCD. Точки P,R,S и T - середины отрезков AB,AD,CD и BC соответственно. а)докажите, что PRST-параллелограмм б)найдите AC,если BD=6 см, а периметр PRST равен 14 см.
а) Для доказательства того, что PRST - параллелограмм, достаточно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны по длине.
Из условия известно, что P и R - середины сторон AB и AD соответственно. Следовательно, PR || BD и PR = 1/2 BD = 3 см. Аналогично, ST || BD и ST = 1/2 BD = 3 см.
Таким образом, PR || ST и PR = ST. Аналогично, PS || RT и PS = RT. Следовательно, PRST - параллелограмм.
б) Периметр PRST равен 14 см. Учитывая, что PR = ST = 3 см и PS = RT = 6 см (так как PS и RT - это половины сторон треугольника BCD), получаем, что периметр PRST равен PR + RS + ST + SP = 3 + 6 + 3 + 6 = 18 см.
Но по условию периметр PRST равен 14 см. Из этого следует, что AC = 18 - 14 = 4 см. Таким образом, AC = 4 см.
а) PRST - параллелограмм, так как противоположные стороны параллельны и равны (середины отрезков). б) Так как PRST - параллелограмм, то AC = 2BD = 26 см = 12 см.
а) Для доказательства того, что четырехугольник PRST является параллелограммом, покажем, что противоположные стороны параллельны и равны.
Рассмотрим отрезки PR и TS. Отрезок PR соединяет середины сторон AB и AD треугольника ABD. По теореме о средней линии треугольника, PR параллелен BD и равен его половине. Аналогично, отрезок TS соединяет середины сторон BC и CD треугольника BCD, следовательно, TS также параллелен BD и равен его половине. Таким образом, PR = TS и PR || TS.
Теперь рассмотрим отрезки PT и RS. Отрезок PT соединяет середины сторон AB и BC треугольника ABC. Следовательно, PT параллелен AC и равен её половине (опять же по теореме о средней линии). Отрезок RS соединяет середины сторон AD и CD треугольника ADC, так что RS также параллелен AC и равен её половине. Это означает, что PT = RS и PT || RS.
Так как обе пары противоположных сторон параллельны и равны, PRST является параллелограммом.
б) Теперь найдем длину AC. Из предыдущего анализа мы знаем, что PR и TS равны половине BD, а PT и RS равны половине AC. Пусть AC = x. Тогда PT = RS = x/2.
Периметр параллелограмма PRST равен сумме длин всех его сторон, то есть 2(PR + PT) = 14 см. Мы знаем, что PR = TS = BD / 2 = 6 / 2 = 3 см. Подставляем и получаем, что 2(3 + x/2) = 14 или 6 + x = 14. Отсюда x = 14 - 6 = 8 см.
Таким образом, AC = 8 см.
