TgA=2; найти sinA, cosA, ctgA

Дано: (\tan A = 2).

Нам нужно найти (\sin A), (\cos A) и (\cot A).

1. Вспомним основные тригонометрические соотношения:

   • (\tan A = \frac{\sin A}{\cos A})
   • (\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A})
   • Основное тригонометрическое тождество: (\sin^2 A + \cos^2 A = 1)

2. Выразим (\sin A) и (\cos A) через (\tan A):

   Поскольку (\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = 2), мы можем записать:

   [ \sin A = 2 \cos A ]

3. Подставим выражение для (\sin A) в основное тригонометрическое тождество:

   [ (2\cos A)^2 + \cos^2 A = 1 ]

   [ 4\cos^2 A + \cos^2 A = 1 ]

   [ 5\cos^2 A = 1 ]

   [ \cos^2 A = \frac{1}{5} ]

   [ \cos A = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} ]

4. Найдем (\sin A) с использованием найденного значения (\cos A):

   [ \sin A = 2 \cos A = 2 \left(\pm \frac{\sqrt{5}}{5}\right) ]

   [ \sin A = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

5. Найдем (\cot A):

   [ \cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{2} ]

Таким образом, мы нашли:

• (\sin A = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5})
• (\cos A = \pm \frac{\sqrt{5}}{5})
• (\cot A = \frac{1}{2})

Знаки (\sin A) и (\cos A) зависят от того, в какой четверти находится угол (A). В первой и третьей четвертях (\tan A) положителен, следовательно, в первой четверти (\sin A > 0) и (\cos A > 0), а в третьей четверти оба значения отрицательны.

Дано, что tg(A) = 2. Так как tg(A) = sin(A) / cos(A), то мы можем выразить sin(A) и cos(A) через tg(A). Из этого следует, что sin(A) = 2cos(A) и cos(A) = 1 / √(5). Теперь, зная sin(A) и cos(A), мы можем найти ctg(A) = 1 / tg(A) = 1 / 2. Таким образом, sin(A) = 2/√5, cos(A) = 1/√5, ctg(A) = 1/2.