Стороны треугольника соответственно равны 4,5,7 .Найтирадиусы вписанной и описанной около треугольника...

Для решения данной задачи воспользуемся формулами радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

1. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r = sqrt((p - a)(p - b)(p - c) / p), где a, b, c - длины сторон треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Для нашего треугольника с длинами сторон 4, 5, 7: p = (4 + 5 + 7) / 2 = 8, r = sqrt((8 - 4)(8 - 5)(8 - 7) / 8) = sqrt(4 3 1 / 8) = sqrt(3/2) = sqrt(3) / sqrt(2) = (sqrt(6) / 2).

Таким образом, радиус вписанной окружности треугольника равен sqrt(6) / 2.

1. Радиус описанной окружности вычисляется по формуле: R = abc / 4S, где a, b, c - длины сторон треугольника, S - площадь треугольника.

Для нашего треугольника с длинами сторон 4, 5, 7: S = sqrt(p(p - a)(p - b)(p - c)) = sqrt(8 4 3 1) = sqrt(96) = 4sqrt(6), R = 4 5 * 4 / 4(4sqrt(6)) = 20 / 4sqrt(6) = 5 / sqrt(6) = 5sqrt(6) / 6.

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника равен 5sqrt(6) / 6.

Для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника с известными сторонами ( a = 4 ), ( b = 5 ), ( c = 7 ), воспользуемся следующими формулами:

1. Радиус вписанной окружности (( r )):

   Радиус вписанной окружности треугольника можно найти с помощью формулы: [ r = \frac{S}{p} ] где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр треугольника.

   Сначала найдем полупериметр: [ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 7}{2} = 8 ]

   Теперь найдем площадь треугольника ( S ) используя формулу Герона: [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ] Подставим значения: [ S = \sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)} = \sqrt{8 \times 4 \times 3 \times 1} = \sqrt{96} ]

   (\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}).

   Теперь найдем радиус вписанной окружности: [ r = \frac{S}{p} = \frac{4\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6}}{2} ]

2. Радиус описанной окружности (( R )):

   Радиус описанной окружности можно найти по формуле: [ R = \frac{abc}{4S} ]

   Подставим известные значения: [ R = \frac{4 \times 5 \times 7}{4 \times 4\sqrt{6}} = \frac{140}{16\sqrt{6}} ]

   Упростим выражение: [ R = \frac{35}{4\sqrt{6}} ]

   Для упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на (\sqrt{6}): [ R = \frac{35\sqrt{6}}{24} ]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен (\frac{\sqrt{6}}{2}), а радиус описанной окружности равен (\frac{35\sqrt{6}}{24}).