Стороны треугольника равны 6 см и 8 корень из 2, угол между ними равен 45 градусов. Найдите длину третьей...

Для решения задачи о нахождении длины третьей стороны треугольника, в котором известны две стороны и угол между ними, мы можем использовать закон косинусов.

Закон косинусов гласит, что для треугольника со сторонами ( a ), ( b ) и ( c ), где ( c ) — сторона, противолежащая углу ( \gamma ), выполняется следующая формула:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

В нашем случае:

• ( a = 6 \, \text{см} )
• ( b = 8\sqrt{2} \, \text{см} )
• ( \gamma = 45^\circ )

Теперь подставим известные значения в формулу. Сначала найдем ( \cos(45^\circ) ):

[ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим все значения в закон косинусов:

[ c^2 = 6^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь вычислим каждую часть:

1. ( 6^2 = 36 )
2. ( (8\sqrt{2})^2 = 8^2 \cdot 2 = 64 \cdot 2 = 128 )
3. ( 2 \cdot 6 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{2}{2} = 6 \cdot 8 \cdot 2 = 96 )

Теперь подставим эти значения в уравнение:

[ c^2 = 36 + 128 - 96 ]

Посчитаем:

[ c^2 = 36 + 128 - 96 = 68 ]

Теперь найдем ( c ):

[ c = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17} \, \text{см} ]

Итак, длина третьей стороны треугольника составляет ( 2\sqrt{17} \, \text{см} ).

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет найти длину стороны треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними.

Формулировка теоремы косинусов:

Если в треугольнике стороны ( a ), ( b ), ( c ), а угол между сторонами ( a ) и ( b ) равен ( \gamma ), то длина третьей стороны ( c ) выражается формулой: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma). ]

Шаг 1: Запишем данные из условия задачи

• ( a = 6 ) см,
• ( b = 8\sqrt{2} ) см,
• ( \gamma = 45^\circ ).

Шаг 2: Подставим значения в формулу

Применим теорему косинусов: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma). ]

Подставляем известные значения: [ c^2 = 6^2 + (8\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ). ]

Шаг 3: Найдем значения

1. Вычислим ( a^2 ) и ( b^2 ): [ 6^2 = 36, \quad (8\sqrt{2})^2 = 64 \cdot 2 = 128. ]

2. Значение косинуса угла ( 45^\circ ): [ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

3. Найдем произведение ( 2ab \cdot \cos(45^\circ) ): [ 2 \cdot 6 \cdot 8\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6 \cdot 8 \cdot 2 = 96. ]

Шаг 4: Подставим все вычисления в формулу

[ c^2 = 36 + 128 - 96. ]

Сложим и вычтем: [ c^2 = 164 - 96 = 68. ]

Шаг 5: Найдем ( c )

[ c = \sqrt{68}. ]

Разложим ( 68 ) под корнем: [ 68 = 4 \cdot 17, \quad \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}. ]

Ответ:

Длина третьей стороны треугольника равна: [ c = 2\sqrt{17} \, \text{см}. ]