Стороны треугольника относятся как 3:5:7, а его периметр равен 60 см. Найти периметр и стороны треугольника...

Для решения задачи начнем с нахождения сторон треугольника, используя соотношение 3:5:7 и заданный периметр.

1. Определим стороны треугольника: Обозначим стороны треугольника как ( a ), ( b ) и ( c ), где: [ a = 3k, \quad b = 5k, \quad c = 7k ] Здесь ( k ) — это некоторая положительная константа.

   Периметр треугольника равен 60 см, то есть: [ a + b + c = 60 ] Подставим значения сторон: [ 3k + 5k + 7k = 60 ] [ 15k = 60 ] Разделим обе стороны на 15: [ k = 4 ]

   Теперь подставим значение ( k ) для нахождения сторон: [ a = 3k = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см} ] [ b = 5k = 5 \cdot 4 = 20 \text{ см} ] [ c = 7k = 7 \cdot 4 = 28 \text{ см} ]

   Таким образом, стороны треугольника равны: ( a = 12 \text{ см} ), ( b = 20 \text{ см} ), ( c = 28 \text{ см} ).

2. Найдем периметр треугольника, у которого вершины являются серединами сторон: Если вершины нового треугольника являются серединами сторон исходного треугольника, то мы можем использовать теорему о средней линии.

   По этой теореме, каждая сторона нового треугольника будет равна половине соответствующей стороны исходного треугольника. Таким образом, стороны нового треугольника будут: [ a' = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \text{ см} ] [ b' = \frac{1}{2}b = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10 \text{ см} ] [ c' = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 \text{ см} ]

   Теперь найдем периметр нового треугольника: [ P' = a' + b' + c' = 6 + 10 + 14 = 30 \text{ см} ]

Таким образом, периметр треугольника, вершины которого являются серединами сторон исходного треугольника, равен 30 см.

Давайте решим задачу пошагово и разберем её более подробно.

Шаг 1: Определение сторон треугольника

Стороны треугольника относятся как 3:5:7. Пусть их длины равны ( 3x ), ( 5x ) и ( 7x ), где ( x ) — это общий множитель.

Периметр треугольника равен 60 см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: [ 3x + 5x + 7x = 60. ]

Сложим коэффициенты: [ 15x = 60. ]

Найдём ( x ): [ x = \frac{60}{15} = 4. ]

Теперь найдём длины сторон треугольника: [ 3x = 3 \cdot 4 = 12 \, \text{см}, \quad 5x = 5 \cdot 4 = 20 \, \text{см}, \quad 7x = 7 \cdot 4 = 28 \, \text{см}. ]

Таким образом, стороны треугольника равны ( 12 \, \text{см}, 20 \, \text{см}, 28 \, \text{см} ).

Шаг 2: Построение нового треугольника

Теперь нужно найти периметр и стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон исходного треугольника. Такой треугольник называется средним треугольником, и его стороны равны половинам сторон исходного треугольника.

Согласно свойству среднего треугольника:

• Стороны среднего треугольника равны половинам сторон исходного треугольника.

Посчитаем длины сторон среднего треугольника: [ \text{Первая сторона: } \frac{12}{2} = 6 \, \text{см}, ] [ \text{Вторая сторона: } \frac{20}{2} = 10 \, \text{см}, ] [ \text{Третья сторона: } \frac{28}{2} = 14 \, \text{см}. ]

Таким образом, стороны среднего треугольника равны ( 6 \, \text{см}, 10 \, \text{см}, 14 \, \text{см} ).

Шаг 3: Периметр среднего треугольника

Периметр среднего треугольника — это сумма всех его сторон: [ 6 + 10 + 14 = 30 \, \text{см}. ]

Итог

• Стороны среднего треугольника: ( 6 \, \text{см}, 10 \, \text{см}, 14 \, \text{см} ).
• Периметр среднего треугольника: ( 30 \, \text{см} ).