Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см,а двугранный угол при основания равен 45...

а) Для нахождения площади поверхности пирамиды нужно сначала найти площадь основания и прибавить к ней площадь боковой поверхности. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна S = (a^2 √3) / 4, где а - длина стороны основания. По условию a = 3 см, тогда S = (3^2 √3) / 4 = 9√3 / 4 = 9√3 / 4 см^2.

Далее найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность пирамиды представляет собой три равносторонних треугольника с высотой h, где h - расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Так как угол при основании равен 45 градусов, то боковая грань пирамиды разбивается на два прямоугольных треугольника с гипотенузой 3 см. Тогда с помощью тригонометрии находим h = 3 sin 45 = 3 √2 / 2 = 3√2 / 2.

Площадь одного бокового треугольника равна Sб = (a h) / 2 = (3 3√2 / 2) / 2 = 9√2 / 4 см^2. Поэтому площадь боковой поверхности равна Sбок = 3 Sб = 3 9√2 / 4 = 27√2 / 4 = 27√2 / 4 см^2.

Итак, общая площадь поверхности пирамиды равна Sобщ = S + Sбок = 9√3 / 4 + 27√2 / 4 = 9√3 + 27√2 / 4 ≈ 23.29 см^2.

б) Расстояние от вершины пирамиды до противоположной боковой грани равно h = 3 cos 45 = 3 √2 / 2 = 3√2 / 2 ≈ 2.12 см.

Для решения задачи нам нужно сначала понять некоторые параметры правильной треугольной пирамиды, исходя из данных условий.

а) Площадь поверхности пирамиды:

1. Площадь основания: Поскольку основание пирамиды – это равносторонний треугольник со стороной 3 см, площадь основания ( S{\text{осн}} ) можно найти по формуле: [ S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 ]

2. Площадь боковой грани: Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником. Высота боковой грани (апофема пирамиды) может быть найдена через двугранный угол при основании. Если двугранный угол равен 45 градусов, то апофема ( h ) будет равна высоте равностороннего треугольника, так как угол в 45 градусов образует прямоугольный треугольник с половиной стороны основания (1.5 см) и высотой (апофемой). [ h = 1.5 \times \sqrt{2} = 2.12 \text{ см} ] Теперь можем найти площадь одной боковой грани ( S{\text{бок}} ): [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{основание грани} \times \text{высота грани} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2.12 = 3.18 \text{ см}^2 ] Площадь всех трех боковых граней: [ 3 \times S_{\text{бок}} = 3 \times 3.18 = 9.54 \text{ см}^2 ]

3. Общая площадь поверхности пирамиды: [ S{\text{пов}} = S{\text{осн}} + 3 \times S_{\text{бок}} = \frac{9\sqrt{3}}{4} + 9.54 \text{ см}^2 ]

б) Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани:

Это расстояние – это высота треугольной грани, опущенная из вершины на противоположную сторону. Из теоремы Пифагора для равнобедренного треугольника с апофемой 2.12 см и половиной основания 1.5 см, высота опускается на середину основания и равна: [ \text{высота} = \sqrt{2.12^2 - 1.5^2} = \sqrt{4.4944 - 2.25} = \sqrt{2.2444} \approx 1.498 \text{ см} ]

Таким образом: а) Площадь поверхности пирамиды примерно равна ( \frac{9\sqrt{3}}{4} + 9.54 \text{ см}^2 ) б) Расстояние от вершины до противоположной боковой грани приблизительно равно 1.5 см.