Сторона основания правильной четырехугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 равна 3см,а боковое ребро - 4см.Найдите...

Для решения задачи нам нужно найти площадь сечения правильной четырехугольной призмы АВСДА1В1С1Д1, которое проходит через сторону основания АД и вершину С1.

1. Определим свойства призмы:

   • Правильная четырехугольная призма: основаниями призмы являются правильные четырехугольники (квадраты).
   • Сторона основания (квадрата): ( AD = 3 ) см.
   • Боковое ребро: ( A_1A = 4 ) см.

2. Определим координаты ключевых точек:

   • Пусть точка ( A ) находится в начале координат: ( A(0, 0, 0) ).
   • Так как ( A ) и ( D ) лежат на одной стороне квадрата, ( D ) имеет координаты ( D(3, 0, 0) ).
   • Точка ( C ) находится на противоположной стороне квадрата от ( A ) и ( D ), следовательно ( C(3, 3, 0) ).
   • Точка ( C_1 ) является верхней вершиной, соответствующей ( C ), и имеет координаты ( C_1(3, 3, 4) ).

3. Определим уравнение плоскости, проходящей через точки ( A, D ) и ( C_1 ):

   • Для этого используем метод определения плоскости через три точки ( (x_1, y_1, z_1) ), ( (x_2, y_2, z_2) ), ( (x_3, y_3, z_3) ):
     • Вектор ( \overrightarrow{AD} = (3-0, 0-0, 0-0) = (3, 0, 0) )
     • Вектор ( \overrightarrow{AC_1} = (3-0, 3-0, 4-0) = (3, 3, 4) )
     • Векторное произведение ( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC_1} ):
       • ( i(0 \cdot 4 - 0 \cdot 3) - j(3 \cdot 4 - 0 \cdot 3) + k(3 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = (0, -12, 9) )
     • Уравнение плоскости: ( 0(x - 0) - 12(y - 0) + 9(z - 0) = 0 ) или ( -12y + 9z = 0 ) или ( 4y = 3z ).

4. Определим точку пересечения плоскости с верхней гранью призмы:

   • Верхняя грань призмы проходит через точки ( A_1, B_1, C_1 ) и ( D_1 ), причем ( A_1(0, 0, 4) ), ( D_1(3, 0, 4) ).
   • Используя уравнение плоскости ( 4y = 3z ):
     • Для точки ( D_1 ): ( 4y = 3 \cdot 4 ), ( y = 3 ).
     • Точка пересечения плоскости с верхней гранью: ( (3, 3, 4) ).

5. Найдем площадь полученного треугольника:

   • Треугольник с вершинами ( A(0, 0, 0) ), ( D(3, 0, 0) ), ( C_1(3, 3, 4) ).
   • Векторы:
     • ( \overrightarrow{AD} = (3, 0, 0) )
     • ( \overrightarrow{AC_1} = (3, 3, 4) )
     • Векторное произведение ( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC_1} ):
       • ( \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC_1} = (0, -12, 9) )
       • Длина вектора ( \sqrt{0^2 + (-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 )
   • Площадь треугольника: ( \frac{1}{2} \times \text{длина векторного произведения} = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5 ) см².

Ответ: Площадь сечения, проходящего через сторону основания ( AD ) и вершину ( C_1 ), равна ( 7.5 ) см².

Площадь сечения равна 12 квадратных сантиметров.

Для нахождения площади сечения, проходящего через сторону основания АД и вершину C1, нам необходимо найти высоту призмы, опущенную из вершины C1 на сторону основания АД.

Сначала найдем высоту призмы. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника C1СД1:

(C1D1)^2 = (CD)^2 + (C1C)^2 (C1D1)^2 = (3)^2 + (4)^2 (C1D1)^2 = 9 + 16 (C1D1)^2 = 25 C1D1 = 5

Теперь мы знаем, что высота призмы равна 5 см. Далее находим площадь сечения, которое проходит через сторону основания АД и вершину C1, используя формулу площади прямоугольного треугольника:

Площадь = 0.5 сторона высота Площадь = 0.5 3 5 Площадь = 7.5 см^2

Итак, площадь сечения, проходящего через сторону основания АД и вершину C1, равна 7.5 квадратных сантиметров.