Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью...

Давайте разберём каждый пункт задачи поэтапно.

а) Диагональ призмы

Пусть ( a ) - сторона основания правильной четыреугольной призмы, и диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Правильная четырехугольная призма имеет квадрат в основании, и диагональ основания ( d ) этого квадрата можно найти по теореме Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} ]

Пусть ( h ) - высота призмы. Тогда полная диагональ призмы ( D ) образует с плоскостью основания угол 45 градусов, и её можно найти из треугольника, где ( D ) - гипотенуза, а ( d ) и ( h ) - катеты. Поскольку угол с плоскостью основания равен 45 градусов, то ( d = h ). [ h = a\sqrt{2} ] [ D = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = a\sqrt{4} = 2a ]

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани

Боковая грань призмы — это прямоугольник с размерами ( a ) и ( h = a\sqrt{2} ). Рассмотрим треугольник, образованный диагональю одной из боковых граней и высотой призмы. Пусть ( D_1 ) - диагональ боковой грани, тогда: [ D_1 = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3} ]

Угол ( \theta ) между диагональю призмы и плоскостью боковой грани можно найти, используя скалярное произведение векторов (или геометрически): [ \cos \theta = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} ] [ \theta \approx \arccos(\frac{\sqrt{6}}{3}) ]

в) Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех боковых граней. Так как у призмы четыре боковые грани, каждая площадь равна ( a \times a\sqrt{2} ): [ S_{бок} = 4 \times a \times a\sqrt{2} = 4a^2\sqrt{2} ]

г) Площадь сечения призмы

Секущая плоскость проходит через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образуя равнобедренную трапецию. Высота этой трапеции равна ( a\sqrt{2} ), а основания равны ( a ). Площадь трапеции: [ S_{тр} = \frac{a + a}{2} \times a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} ]

К сожалению, в текстовом формате здесь не представить изображения, но вы можете нарисовать эти фигуры, используя описания, для лучшего понимания решения.

Для начала обозначим сторону основания правильной четырёхугольной призмы как а. Так как угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 45 градусов, то у нас получается равнобедренный прямоугольный треугольник.

а) Для нахождения диагонали призмы воспользуемся теоремой Пифагора: (d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2) (d = \sqrt{2}a)

б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен 45 градусов, так как это угол прямоугольного треугольника.

в) Площадь боковой поверхности призмы можно найти по формуле (S = 4a*h), где h - высота призмы. Так как это правильная четырёхугольная призма, то высота равна стороне основания, т.е. h = a. Подставляем значение h и получаем: (S = 4a^2)

г) Для нахождения площади сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, вспомним, что это также будет прямоугольный треугольник. Площадь такого сечения можно найти как половину произведения стороны основания и диагонали: (S{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d) (S{\text{сечения}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{2}a) (S_{\text{сечения}} = \sqrt{2}a^2)

Таким образом, мы нашли все необходимые значения и ответили на вопросы.

а) Диагональ призмы равна √2a. б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани равен 45 градусов. в) Площадь боковой поверхности призмы равна 4a^2. г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, равна 2a^2.

Объяснение:

• Для нахождения диагонали призмы можно воспользоваться теоремой Пифагора. Диагональ равна корню из суммы квадратов стороны основания и высоты призмы. Таким образом, диагональ равна √(a^2 + a^2) = √2a.
• Угол между диагональю и плоскостью боковой грани равен 45 градусов, так как диагональ делит прямоугольный треугольник на два равных угла.
• Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех четырех боковых граней, которые являются прямоугольными треугольниками. Площадь одного такого треугольника равна a*a/2 = a^2/2. Умножаем на 4, получаем 4a^2.
• Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, равна сумме площадей двух равных прямоугольных треугольников, образованных диагональю и стороной основания. Получаем 2a^2.

Рисунок:

  A _________ B
   /        /
  /        /
 /        /
/________/
C        D

На рисунке: AB - диагональ, AC - сторона основания, угол BAC равен 45 градусов.

Надеюсь, это поможет вам понять решение задачи. Если есть дополнительные вопросы, обращайтесь.