Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4см,а апофема образует с плоскольтью угол...

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора для правильной треугольной пирамиды.

а) Высота пирамиды: Мы знаем, что апофема - это высота боковой грани пирамиды. Для правильной четырехугольной пирамиды апофема делит боковую грань на два равнобедренных треугольника. Таким образом, мы можем разделить пирамиду на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых катет равен половине стороны основания (2см), а гипотенуза - апофема.

Используя теорему Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2), где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Подставляя значения, получаем: (2^2 + 2^2 = c^2), (4 + 4 = c^2), (8 = c^2), (c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}).

Таким образом, высота пирамиды равна (2\sqrt{2} см).

б) Боковая поверхность пирамиды: Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет сторону основания (4 см), а высоту (2√2 см) мы уже нашли. Таким образом, площадь одного такого треугольника можно найти как ( \frac{1}{2} \times \text{сторона основания} \times \text{высота}).

Площадь одного треугольника: ( \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}^2).

Так как у пирамиды 4 таких треугольника, то общая боковая поверхность будет равна: (4 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ см}^2).

Итак, боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна (16\sqrt{2} \text{ см}^2).

Для решения задачи нам нужно сначала понять, что такое апофема в контексте правильной четырехугольной пирамиды. Апофема – это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды на сторону основания.

а) Для начала найдем высоту пирамиды (обозначим ее как ( H )).

Из условия задачи известно, что сторона основания правильной четырехугольной пирамиды (квадрата) равна 4 см. Так как пирамида правильная, то ее высота ( H ) будет опущена в центр квадрата, который является центром описанной окружности этого квадрата. Радиус этой окружности (или половина диагонали квадрата) равен ( \frac{a\sqrt{2}}{2} ), где ( a ) — сторона квадрата. Подставим значение стороны: [ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ см} ]

Апофема пирамиды (обозначим как ( l )) опущена на середину стороны квадрата и образует с плоскостью основания угол 60 градусов. Треугольник, образованный апофемой, радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды, является прямоугольным. Зная, что апофема образует с плоскостью основания угол 60 градусов, можно использовать тригонометрическую функцию тангенс: [ \tan(60^\circ) = \frac{l}{R} ] [ l = R \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6} \text{ см} ]

Теперь используем теорему Пифагора для нахождения высоты ( H ): [ H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{24 - 8} = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]

б) Теперь найдем боковую поверхность пирамиды.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех равных треугольников. Площадь одного треугольника можно найти по формуле: [ S{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} ] Подставляем значения: [ S{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \text{ см}^2 ]

Площадь боковой поверхности (четыре треугольника): [ S_{\text{бок}} = 4 \cdot 4\sqrt{6} = 16\sqrt{6} \text{ см}^2 ]

Итак, высота пирамиды ( H ) равна 4 см, а ее боковая поверхность равна ( 16\sqrt{6} ) см².