Сторона АВ параллелограмма АВСD лежит в плоскости АВМ, а сторона ВС образует с этой плоскостью угол...

а) Угол между диагоналями квадрата равен 90 градусов. б) Угол между диагоналями ромба равен 60 градусов.

Рассмотрим два случая: когда (ABCD) является квадратом и когда (ABCD) является ромбом с углом (B = 120^\circ).

Случай 1: (ABCD) — квадрат

1. Построение и анализ:

   • Поскольку (ABCD) — квадрат, все его стороны равны, и все углы прямые ((90^\circ)).
   • Сторона (AB) лежит в плоскости (\alpha = ABM).
   • Сторона (BC) образует угол (\varphi) с этой плоскостью.

2. Диагонали квадрата:

   • Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
   • Диагональ (BD) делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

3. Угол между диагональю (BD) и плоскостью (\alpha):

   • Рассмотрим треугольник (BDC). В нём (BD) — гипотенуза, (BC) — катет.
   • Пусть диагональ (BD) образует с плоскостью (\alpha) угол (\theta).
   • Из геометрических соображений, угол между диагональю и плоскостью равен углу между диагональю и её проекцией на эту плоскость.

   • Проекция диагонали (BD) на плоскость (\alpha) — это линия, соединяющая проекции точек (B) и (D) на плоскость (\alpha). Проекция (D) на плоскость (\alpha) — это точка (M) (поскольку (M) лежит в плоскости (\alpha)).

   • Диагональ (BD) образует угол (\theta) с плоскостью (\alpha), где (\theta = \varphi).

Случай 2: (ABCD) — ромб с углом (B = 120^\circ)

1. Построение и анализ:

   • (ABCD) — ромб, следовательно, все его стороны равны.
   • Угол (B = 120^\circ), угол (D = 120^\circ), углы (A) и (C) равны (60^\circ).
   • Сторона (AB) лежит в плоскости (\alpha = ABM).
   • Сторона (BC) образует угол (\varphi) с этой плоскостью.

2. Диагонали ромба:

   • Диагонали ромба пересекаются под углом (90^\circ) и делят углы ромба пополам.
   • Диагональ (BD) делит угол (B = 120^\circ) на два угла по (60^\circ).

3. Угол между диагональю (BD) и плоскостью (\alpha):

   • Рассмотрим треугольник (BDC). В нём (BD) — диагональ, (BC) — сторона ромба.
   • Пусть диагональ (BD) образует с плоскостью (\alpha) угол (\theta).

   • Проекция диагонали (BD) на плоскость (\alpha) — это линия, соединяющая проекции точек (B) и (D) на плоскость (\alpha). Проекция (D) на плоскость (\alpha) — это точка (M) (поскольку (M) лежит в плоскости (\alpha)).

   • Диагональ (BD) образует угол (\theta) с плоскостью (\alpha), где (\theta = \varphi).

Таким образом, в обоих случаях угол между диагональю (BD) и плоскостью (\alpha) равен углу (\varphi).

а) Поскольку квадрат является частным случаем параллелограмма, у которого все стороны равны и все углы прямые, то угол между диагональю BD и плоскостью АВМ будет также прямым. Следовательно, угол между диагональю BD и плоскостью АВМ равен 90°.

б) В ромбе угол В равен 120°. Поскольку диагонали ромба делятся пополам, угол между диагональю BD и плоскостью АВМ будет равен половине угла В, то есть 120° / 2 = 60°. Таким образом, угол между диагональю BD и плоскостью АВМ в ромбе будет равен 60°.