Стаканчик для мороженого в форме конуса имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху...

Для решения этой задачи нам необходимо определить, какую часть объема конуса занимает шарик мороженого.

Объем конуса можно найти по формуле V = $1/3$ π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Объем шара можно найти по формуле V = $4/3$ π r^3, где r - радиус шара.

Для начала найдем объем конуса. Радиус основания конуса равен половине диаметра верхней части, то есть r = 5 / 2 = 2.5 см. Подставляем значения в формулу:

V конуса = $1/3$ π 2.5^2 * 12 = 100π см^3

Теперь найдем объем шара. Радиус шара равен половине диаметра, то есть r = 5 / 2 = 2.5 см. Подставляем значения в формулу:

V шара = $4/3$ π 2.5^3 = 65.45π см^3

Чтобы найти высоту h, на которой окажется мороженое, когда растает, вычитаем объем шара из объема конуса и делим на площадь основания конуса:

100π - 65.45π = 34.55π см^3

Объем конуса с высотой h можно найти по формуле V = $1/3$ π r^2 * h, где r = 2.5 см. Подставляем значение объема и радиуса:

34.55π = $1/3$ π 2.5^2 h 34.55 = $1/3$ 6.25 h 34.55 = 2.08 h h ≈ 16.6 см

Таким образом, мороженое окажется на высоте примерно 16.6 см, когда растает.

Чтобы найти высоту $h$, на которой окажется мороженое, когда растает и заполнит конус, нужно воспользоваться законами сохранения объема. В данном случае объем конуса и объем шара будут равны, так как при таянии мороженое не изменяет своего объема.

1. Определим объем конуса:

Формула объема конуса: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r{\text{конус}}^2 h_{\text{конус}} ]

Диаметр верхней части конуса равен 5 см, значит радиус ( r{\text{конус}} ) равен: [ r{\text{конус}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см} ]

Глубина $высота$ конуса ( h{\text{конус}} ) равна 12 см. Подставим эти значения в формулу: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi $2.5$^2 $12$ ] [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 6.25 \cdot 12 ] [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 ] $V_{\text{конус}}=25\pi \text{ куб. см}$

1. Определим объем шара:

Формула объема шара: [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r{\text{шар}}^3 ]

Диаметр шара равен 5 см, значит радиус ( r{\text{шар}} ) равен: [ r{\text{шар}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см} ]

Подставим эти значения в формулу: [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi $2.5$^3 ] [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 15.625 ] [ V{\text{шар}} = \frac{62.5}{3} \pi ] [ V{\text{шар}} \approx 20.83 \pi \text{ куб. см} ]

1. Общий объем мороженого:

Объем растаявшего мороженого будет суммой объемов конуса и шара: [ V{\text{общее}} = V{\text{конус}} + V{\text{шар}} ] [ V{\text{общее}} = 25 \pi + 20.83 \pi ] $V_{\text{общее}}\approx 45.83\pi \text{ куб. см}$

1. Найдем высоту $h$ нового конуса с тем же радиусом и объемом:

Формула объема нового конуса: [ V{\text{новый конус}} = \frac{1}{3} \pi r{\text{конус}}^2 h ]

Подставим общий объем и радиус конуса: $45.83\pi =\frac{1}{3}\pi (2.5{)}^{2}h$ $45.83\pi =\frac{1}{3}\pi \cdot 6.25\cdot h$ $45.83\pi =\frac{6.25}{3}\pi \cdot h$ $45.83\pi =2.0833\pi \cdot h$

Уберем $\pi$ из обеих частей уравнения: $45.83=2.0833h$

Решим уравнение для $h$: $h=\frac{45.83}{2.0833}$ $h\approx 22\text{ см}$

Таким образом, когда мороженое растает, оно заполнит конус до высоты примерно 22 см.