Стаканчик для мороженого в форме конуса имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили шарик мороженого диаметром 5 см. На какой высоте h (в см) окажется мороженое, когда растает? Считайте, что при таянии все мороженое стекает в конус и его объем не изменяется.
Для решения этой задачи нам необходимо определить, какую часть объема конуса занимает шарик мороженого.
Объем конуса можно найти по формуле V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.
Объем шара можно найти по формуле V = (4/3) π r^3, где r - радиус шара.
Для начала найдем объем конуса. Радиус основания конуса равен половине диаметра верхней части, то есть r = 5 / 2 = 2.5 см. Подставляем значения в формулу:
V конуса = (1/3) π 2.5^2 * 12 = 100π см^3
Теперь найдем объем шара. Радиус шара равен половине диаметра, то есть r = 5 / 2 = 2.5 см. Подставляем значения в формулу:
V шара = (4/3) π 2.5^3 = 65.45π см^3
Чтобы найти высоту h, на которой окажется мороженое, когда растает, вычитаем объем шара из объема конуса и делим на площадь основания конуса:
100π - 65.45π = 34.55π см^3
Объем конуса с высотой h можно найти по формуле V = (1/3) π r^2 * h, где r = 2.5 см. Подставляем значение объема и радиуса:
34.55π = (1/3) π 2.5^2 h 34.55 = (1/3) 6.25 h 34.55 = 2.08 h h ≈ 16.6 см
Таким образом, мороженое окажется на высоте примерно 16.6 см, когда растает.
Чтобы найти высоту ( h ), на которой окажется мороженое, когда растает и заполнит конус, нужно воспользоваться законами сохранения объема. В данном случае объем конуса и объем шара будут равны, так как при таянии мороженое не изменяет своего объема.
Формула объема конуса: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r{\text{конус}}^2 h_{\text{конус}} ]
Диаметр верхней части конуса равен 5 см, значит радиус ( r{\text{конус}} ) равен: [ r{\text{конус}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см} ]
Глубина (высота) конуса ( h{\text{конус}} ) равна 12 см. Подставим эти значения в формулу: [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi (2.5)^2 (12) ] [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 6.25 \cdot 12 ] [ V{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 ] [ V_{\text{конус}} = 25 \pi \text{ куб. см} ]
Формула объема шара: [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi r{\text{шар}}^3 ]
Диаметр шара равен 5 см, значит радиус ( r{\text{шар}} ) равен: [ r{\text{шар}} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см} ]
Подставим эти значения в формулу: [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi (2.5)^3 ] [ V{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 15.625 ] [ V{\text{шар}} = \frac{62.5}{3} \pi ] [ V{\text{шар}} \approx 20.83 \pi \text{ куб. см} ]
Объем растаявшего мороженого будет суммой объемов конуса и шара: [ V{\text{общее}} = V{\text{конус}} + V{\text{шар}} ] [ V{\text{общее}} = 25 \pi + 20.83 \pi ] [ V_{\text{общее}} \approx 45.83 \pi \text{ куб. см} ]
Формула объема нового конуса: [ V{\text{новый конус}} = \frac{1}{3} \pi r{\text{конус}}^2 h ]
Подставим общий объем и радиус конуса: [ 45.83 \pi = \frac{1}{3} \pi (2.5)^2 h ] [ 45.83 \pi = \frac{1}{3} \pi \cdot 6.25 \cdot h ] [ 45.83 \pi = \frac{6.25}{3} \pi \cdot h ] [ 45.83 \pi = 2.0833 \pi \cdot h ]
Уберем ( \pi ) из обеих частей уравнения: [ 45.83 = 2.0833 h ]
Решим уравнение для ( h ): [ h = \frac{45.83}{2.0833} ] [ h \approx 22 \text{ см} ]
Таким образом, когда мороженое растает, оно заполнит конус до высоты примерно 22 см.
