Составьте уравнение окружности с центром в точке C(4:-2) и радиусом равный 3.Выясните принадлежит ли...

Уравнение окружности с центром в точке ( C(4, -2) ) и радиусом ( r = 3 ) имеет вид:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 3^2 ]

или

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9. ]

Теперь проверим, принадлежит ли точка ( A(4, -5) ) этой окружности. Подставим координаты точки ( A ) в уравнение окружности:

[ (4 - 4)^2 + (-5 + 2)^2 = 0 + (-3)^2 = 9. ]

Поскольку левая часть равенства равна 9, а правая часть также равна 9, точка ( A(4, -5) ) принадлежит окружности.

Чтобы составить уравнение окружности с заданным центром и радиусом, воспользуемся основной формулой уравнения окружности:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2, ]

где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, (R) — радиус окружности.

Шаг 1. Запишем уравнение окружности

Центр окружности (C(4; -2)), радиус (R = 3). Подставим значения в формулу:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 3^2. ]

Преобразуем правую часть:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9. ]

Это уравнение окружности.

Шаг 2. Проверим принадлежность точки (A(4; -5)) окружности

Точка принадлежит окружности, если при подстановке её координат в уравнение окружности оно выполняется (левую часть уравнения окружности нужно сравнить с правой частью, равной 9).

Возьмем координаты точки (A(4; -5)) и подставим их в уравнение окружности:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9. ]

Подставим (x = 4), (y = -5):

[ (4 - 4)^2 + (-5 + 2)^2 = 0^2 + (-3)^2 = 0 + 9 = 9. ]

Левая часть равна правой ((9 = 9)), значит, точка (A(4; -5)) принадлежит окружности.

Ответ:

1. Уравнение окружности: ((x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9).
2. Точка (A(4; -5)) принадлежит окружности, так как при подстановке её координат уравнение выполняется.

Чтобы составить уравнение окружности с заданным центром и радиусом, нужно использовать стандартную форму уравнения окружности:

[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 ]

где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус.

В нашем случае:

• Центр (C(4, -2)), то есть (x_0 = 4) и (y_0 = -2).
• Радиус (r = 3).

Подставляем эти значения в уравнение:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 3^2 ]

Это можно упростить:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9 ]

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке (C(4, -2)) и радиусом 3 выглядит как:

[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 9 ]

Теперь выясним, принадлежит ли точка (A(4, -5)) этой окружности. Для этого подставим координаты точки (A) в уравнение окружности и проверим, выполняется ли оно.

Подставим (x = 4) и (y = -5):

[ (4 - 4)^2 + (-5 + 2)^2 = 9 ]

Упростим:

[ 0^2 + (-3)^2 = 9 ]

Это дает:

[ 0 + 9 = 9 ]

Так как равенство выполняется, это означает, что точка (A(4, -5)) принадлежит окружности с центром в точке (C(4, -2)) и радиусом 3.