Составьте уравнение образа окружности x2+y2+4x-10y-20=0 при повороте на 180 по часовой стрелке отностительно...

При повороте фигуры на 180 градусов вокруг начала координат, координаты каждой точки (x, y) изменяются на (-x, -y). Это связано с тем, что поворот на 180 градусов по часовой стрелке эквивалентен повороту на 180 градусов против часовой стрелки, и в обоих случаях происходит инверсия знаков координат.

Теперь рассмотрим уравнение окружности:

[ x^2 + y^2 + 4x - 10y - 20 = 0. ]

Шаг 1: Найдем центр и радиус окружности.

Чтобы определить центр и радиус, приведем уравнение к канонической форме. Для этого выделим полные квадраты.

1. Для x: ( x^2 + 4x ) можно переписать как ( (x + 2)^2 - 4 ).
2. Для y: ( y^2 - 10y ) можно переписать как ( (y - 5)^2 - 25 ).

Подставим это обратно в уравнение:

[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 5)^2 - 25 - 20 = 0. ]

Упростим:

[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 - 49 = 0. ]

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49. ]

Отсюда видно, что центр окружности находится в точке (-2, 5), а радиус равен (\sqrt{49} = 7).

Шаг 2: Применим поворот на 180 градусов.

При повороте на 180 градусов центр окружности, как и любая другая точка, изменит знак своих координат. Поэтому новый центр окружности будет в точке (2, -5).

Следовательно, уравнение образа окружности после поворота будет:

[ (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 49. ]

Раскроем скобки для получения уравнения в общем виде:

[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4, ] [ (y + 5)^2 = y^2 + 10y + 25. ]

Подставим это в уравнение:

[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 10y + 25 = 49. ]

Упростим:

[ x^2 + y^2 - 4x + 10y + 29 = 49. ]

[ x^2 + y^2 - 4x + 10y - 20 = 0. ]

Таким образом, уравнение образа окружности после поворота на 180 градусов вокруг начала координат остается тем же, что и исходное уравнение. Это происходит из-за симметрии окружности относительно начала координат, и изменение знаков координат приводит уравнение к его изначальному виду.

Для того чтобы найти уравнение образа окружности после поворота на 180 градусов по часовой стрелке относительно начала координат, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем уравнение исходной окружности: x^2 + y^2 + 4x - 10y - 20 = 0

2. Проведем поворот на 180 градусов, что эквивалентно применению преобразования x' = -x, y' = -y к уравнению исходной окружности.

3. Подставим x' = -x и y' = -y в уравнение исходной окружности: (-x)^2 + (-y)^2 + 4(-x) - 10(-y) - 20 = 0 x^2 + y^2 - 4x + 10y - 20 = 0

4. Полученное уравнение и будет уравнением образа окружности после поворота на 180 градусов: x^2 + y^2 - 4x + 10y - 20 = 0

Таким образом, уравнение образа окружности после поворота на 180 градусов по часовой стрелке относительно начала координат будет x^2 + y^2 - 4x + 10y - 20 = 0.