SOS! Как найти косинус, если известен синус и промежуток угла?

Чтобы найти косинус угла, зная его синус и промежуток угла, можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Основное соотношение, которое нам поможет, — это формула Пифагора для тригонометрических функций.

1. Формула Пифагора: Для любого угла ( \theta ) выполняется следующее соотношение: [ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 ]

   Из этого уравнения можно выразить косинус: [ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) ] [ \cos(\theta) = \pm \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} ]

2. Знак косинуса: Для определения знака косинуса необходимо учесть, в каком квадранте находится угол ( \theta ). В зависимости от промежутка угла, косинус может быть положительным или отрицательным:

   • В первом квадранте (от ( 0 ) до ( 90^\circ ) или от ( 0 ) до ( \frac{\pi}{2} ) радиан) косинус положителен.
   • Во втором квадранте (от ( 90^\circ ) до ( 180^\circ ) или от ( \frac{\pi}{2} ) до ( \pi ) радиан) косинус отрицателен.
   • В третьем квадранте (от ( 180^\circ ) до ( 270^\circ ) или от ( \pi ) до ( \frac{3\pi}{2} ) радиан) косинус также отрицателен.
   • В четвертом квадранте (от ( 270^\circ ) до ( 360^\circ ) или от ( \frac{3\pi}{2} ) до ( 2\pi ) радиан) косинус положителен.

3. Пример: Допустим, у нас есть угол ( \theta ), для которого ( \sin(\theta) = 0.6 ), и мы знаем, что угол находится во втором квадранте. Тогда можно найти косинус следующим образом: [ \cos(\theta) = -\sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = -\sqrt{1 - (0.6)^2} = -\sqrt{1 - 0.36} = -\sqrt{0.64} = -0.8 ]

Таким образом, косинус угла ( \theta ), для которого ( \sin(\theta) = 0.6 ) и угол находится во втором квадранте, равен ( -0.8 ).

Если бы угол находился в первом квадранте, косинус был бы положительным: ( \cos(\theta) = 0.8 ).

В заключение, чтобы найти косинус угла, зная синус и промежуток угла, следуйте шагам: используйте формулу Пифагора для нахождения косинуса и определите его знак в зависимости от квадранта, в котором находится угол.

Чтобы найти косинус угла, если известен синус и промежуток, нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством. Оно гласит:

[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 ]

Шаги решения:

1. Подставьте значение синуса в формулу: Если известен (\sin(\alpha)), подставьте его значение в тождество:

   [ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) ]

2. Вычислите значение (\cos^2(\alpha)): Выполните вычисления для нахождения (\cos^2(\alpha)). Это будет положительное число, поскольку квадрат любого числа всегда неотрицателен.

3. Найдите (\cos(\alpha)): Чтобы найти (\cos(\alpha)), нужно извлечь квадратный корень из полученного значения (\cos^2(\alpha)):

   [ \cos(\alpha) = \pm \sqrt{\cos^2(\alpha)} ]

   Здесь появляется знак «(\pm)», потому что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным.

4. Определите знак косинуса по промежутку угла: Очень важно учитывать промежуток, в котором находится угол (\alpha), чтобы правильно определить знак (\cos(\alpha)). Косинус угла зависит от квадранта, в котором находится угол:

   • В I четверти ((0^\circ \leq \alpha < 90^\circ)): (\cos(\alpha) > 0)
   • Во II четверти ((90^\circ \leq \alpha < 180^\circ)): (\cos(\alpha) < 0)
   • В III четверти ((180^\circ \leq \alpha < 270^\circ)): (\cos(\alpha) < 0)
   • В IV четверти ((270^\circ \leq \alpha < 360^\circ)): (\cos(\alpha) > 0)

   Используя эту информацию, выберите правильный знак для (\cos(\alpha)).

Пример:

Предположим, (\sin(\alpha) = \frac{3}{5}), а угол (\alpha) находится в II четверти ((90^\circ \leq \alpha < 180^\circ)).

1. Подставим значение синуса в тождество: [ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}. ]

2. Найдем (\cos(\alpha)): [ \cos(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}. ]

3. Определим знак косинуса: Угол (\alpha) находится во II четверти, где косинус отрицателен. Поэтому: [ \cos(\alpha) = -\frac{4}{5}. ]

Итог:

Чтобы найти косинус, зная синус и промежуток угла:

1. Используйте основное тригонометрическое тождество.
2. Сделайте расчёты и извлеките корень.
3. Определите знак косинуса в зависимости от квадранта, где находится угол.