Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике существует несколько важных утверждений о пропорциональных отрезках, связанных с гипотенузой и катетами. Рассмотрим два из них:

1. Теорема о высоте, проведённой к гипотенузе:

   Утверждение: Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два подобных треугольника, которые подобны исходному треугольнику.

   Доказательство: Пусть ( \triangle ABC ) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине ( C ). Пусть ( CD ) — высота, опущенная из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ), делящая её на два отрезка ( AD ) и ( DB ).

   Рассмотрим треугольники ( \triangle ACD ), ( \triangle CBD ) и исходный треугольник ( \triangle ABC ).

   • Треугольники ( \triangle ACD ) и ( \triangle ABC ) подобны, так как у них общий угол ( \angle A ) и прямые углы ( \angle ACD ) и ( \angle ACB ).
   • Треугольники ( \triangle CBD ) и ( \triangle ABC ) подобны, так как у них общий угол ( \angle B ) и прямые углы ( \angle BCD ) и ( \angle ACB ).

   Следовательно, треугольники ( \triangle ACD ) и ( \triangle CBD ) подобны исходному треугольнику ( \triangle ABC ).

   Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Пусть ( AC = b ), ( BC = a ) и ( AB = c ). Тогда высота ( CD ) делит гипотенузу ( AB ) на отрезки ( AD ) и ( DB ), такие что: [ \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB} ] Это можно записать в виде пропорции: [ CD^2 = AD \cdot DB ]

2. Теорема о катете и проекции на гипотенузу:

   Утверждение: Квадрат катета прямоугольного треугольника равен произведению длины гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

   Доказательство: Рассмотрим тот же треугольник ( \triangle ABC ) с прямым углом при вершине ( C ). Пусть ( CD ) — высота, опущенная на гипотенузу ( AB ), делящая её на отрезки ( AD ) и ( DB ).

   • Для катета ( AC ): Проекция ( AC ) на гипотенузу ( AB ) равна ( AD ). По теореме Пифагора, ( AC^2 = AD \cdot AB ), то есть: [ AC^2 = AD \cdot c ]

   • Для катета ( BC ): Проекция ( BC ) на гипотенузу ( AB ) равна ( DB ). По теореме Пифагора, ( BC^2 = DB \cdot AB ), то есть: [ BC^2 = DB \cdot c ]

Эти теоремы помогают понять связи между сторонами и высотами в прямоугольных треугольниках и являются основой для многих задач в геометрии.

В прямоугольном треугольнике справедливы следующие утверждения о пропорциональных отрезках:

1. Если провести высоту из прямого угла к гипотенузе, то полученные отрезки гипотенузы будут пропорциональны сегментам гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC прямой угол находится напротив гипотенузы AB, а высота AD проведена к гипотенузе. Тогда отрезки AD, DB и DC будут пропорциональны: AD : DB = DB : DC.

Доказательство: Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что AD/CD = BD/DC. Также из подобия треугольников ABD и ABC следует, что AD/AB = BD/BC. Поделим оба равенства: (AD/CD) / (AD/AB) = (BD/DC) / (BD/BC), откуда получаем AD/CD = BD/DC.

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство: Пусть в прямоугольном треугольнике ABC прямой угол находится напротив гипотенузы AB. Тогда по теореме Пифагора имеем AC^2 + BC^2 = AB^2.

Эти утверждения являются основными свойствами пропорциональных отрезков в прямоугольных треугольниках и могут быть использованы для решения различных задач по геометрии.