Середины сторон параллелограмма являются вершинами прямоугольника. Докажите что данный параллелограмм...

Для доказательства того, что параллелограмм, середины сторон которого являются вершинами прямоугольника, является ромбом, разберем задачу с использованием геометрических свойств.

Дано:

1. У нас есть параллелограмм (ABCD).
2. Середины сторон параллелограмма (P), (Q), (R), (S) (где (P), (Q), (R), (S) — середины (AB), (BC), (CD), (DA) соответственно) образуют прямоугольник.

Требуется доказать:

Параллелограмм (ABCD) является ромбом, т.е. все его стороны равны.

Доказательство:

1. Построение

Рассмотрим параллелограмм (ABCD) с вершинами (A(x_1, y_1)), (B(x_2, y_2)), (C(x_3, y_3)), (D(x_4, y_4)).

• Точки (P), (Q), (R), (S) — середины сторон: [ P = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right), \quad Q = \left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right), ] [ R = \left(\frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2}\right), \quad S = \left(\frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2}\right). ]

2. Свойство середины сторон параллелограмма

В любом параллелограмме отрезки, соединяющие середины сторон, образуют параллелограмм. Однако по условию, эти точки образуют прямоугольник. Это ключевое условие задачи.

Прямоугольник имеет следующие свойства:

• Его противоположные стороны равны и параллельны.
• Его углы равны (90^\circ).

3. Доказательство равенства диагоналей прямоугольника

Чтобы (P, Q, R, S) образовывали прямоугольник, диагонали (PR) и (QS) должны быть равны, и пересекаться под прямым углом.

• Координаты диагоналей: [ PR = \sqrt{\left(\frac{x_1 + x_2}{2} - \frac{x_3 + x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_1 + y_2}{2} - \frac{y_3 + y_4}{2}\right)^2}, ] [ QS = \sqrt{\left(\frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_4}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2 + y_3}{2} - \frac{y_1 + y_4}{2}\right)^2}. ]

После упрощения (раскрытия скобок и сокращений) получаем: [ PR = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2}, ] [ QS = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(x_2 - x_4)^2 + (y_2 - y_4)^2}. ]

Теперь, поскольку (PR = QS), это означает, что диагонали параллелограмма (ABCD) равны между собой: [ AC = BD. ]

4. Свойство параллелограмма с равными диагоналями

В параллелограмме равенство диагоналей ((AC = BD)) выполняется только в одном особом случае: если параллелограмм является ромбом. Действительно, в ромбе диагонали равны и пересекаются под прямым углом, что соответствует свойствам прямоугольника, образованного серединами сторон.

Вывод:

Если середины сторон параллелограмма образуют прямоугольник, то данный параллелограмм является ромбом.

Чтобы доказать, что параллелограмм с вершинами в серединах его сторон является ромбом, воспользуемся свойствами параллелограммов и некоторыми элементами геометрии.

1. Обозначение вершин параллелограмма: Пусть параллелограмм ( ABCD ) имеет вершины ( A ), ( B ), ( C ) и ( D ).

2. Середины сторон: Обозначим середины сторон параллелограмма как ( M ), ( N ), ( O ) и ( P ):

   • ( M ) — середина стороны ( AB )
   • ( N ) — середина стороны ( BC )
   • ( O ) — середина стороны ( CD )
   • ( P ) — середина стороны ( DA )

3. Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. То есть:

   • ( AB \parallel CD ) и ( AB = CD )
   • ( BC \parallel DA ) и ( BC = DA )

4. Построение прямоугольника: Чтобы показать, что точки ( M ), ( N ), ( O ) и ( P ) являются вершинами прямоугольника, нам нужно доказать, что:

   • Прямые ( MN ) и ( OP ) параллельны и равны
   • Прямые ( NP ) и ( MO ) параллельны и равны

5. Доказательство параллельности и равенства отрезков:

   • Векторное представление:

     • Середина ( M ) можно выразить как ( M = \frac{A + B}{2} )
     • Середина ( N = \frac{B + C}{2} )
     • Середина ( O = \frac{C + D}{2} )
     • Середина ( P = \frac{D + A}{2} )

   • Векторы ( MN ) и ( OP ): [ MN = N - M = \left(\frac{B + C}{2} - \frac{A + B}{2}\right) = \frac{C - A}{2} ] [ OP = P - O = \left(\frac{D + A}{2} - \frac{C + D}{2}\right) = \frac{A - C}{2} ] Поскольку ( C - A = -(A - C) ), то ( MN \parallel OP ).

   • Векторы ( NP ) и ( MO ): [ NP = P - N = \left(\frac{D + A}{2} - \frac{B + C}{2}\right) = \frac{D + A - B - C}{2} ] [ MO = O - M = \left(\frac{C + D}{2} - \frac{A + B}{2}\right) = \frac{C + D - A - B}{2} ] Поскольку ( D + A - B - C = -(C + D - A - B) ), то ( NP \parallel MO ).

6. Показать, что прямоугольник: Мы доказали, что ( MN \parallel OP ) и ( NP \parallel MO ) и что противоположные стороны равны. Это и есть свойства прямоугольника.

7. Доказательство, что параллелограмм является ромбом: В прямоугольнике диагонали равны. В нашем случае, диагонали ( AC ) и ( BD ) параллелограмма пересекаются в серединах ( M ) и ( O ). Поскольку ( M ) и ( N ) являются серединами, это означает, что:

   • ( AM = MB )
   • ( CN = ND )

   Таким образом, длины всех сторон параллелограмма равны между собой, что и является определением ромба.

Таким образом, если середины сторон параллелограмма образуют прямоугольник, то данный параллелограмм является ромбом.