Равнобедренный треугольник abc и правильный треугольник adc не лежат в одной плоскости. отрезок bd является...

Для нахождения двугранного угла BACD нам нужно вычислить угол между боковой гранью равнобедренного треугольника ABC и плоскостью, содержащей правильный треугольник ADC.

Сначала найдем высоту равнобедренного треугольника ABC. Поскольку AB = BC = 2√5 см, то высота, проведенная из вершины A к основанию BC, будет равна √$2\surd 5$^2 - $2$^2 = √$20-4$ = √16 = 4 см.

Теперь найдем косинус угла между плоскостью, содержащей правильный треугольник ADC, и боковой гранью равнобедренного треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой косинуса угла между векторами:

cos$\angle BACD$ = (BD AC) / (BD BC) = (4 4) / (4 2√5) = 16 / 8√5 = 2 / √5 = 2√5 / 5.

Теперь найдем угол BACD:

∠BACD = arccos$2\surd 5/5$ ≈ 49.4°.

Таким образом, двугранный угол BACD составляет около 49.4°.

Двугранный угол BACD равен 90 градусов.

Чтобы найти двугранный угол $\mathrm{\angle }BACD$, сначала давайте разберемся с геометрией задачки и определим ключевые элементы.

1. Треугольник $ABC$:

   • Это равнобедренный треугольник, в котором $AB=BC=2\sqrt{5}$ см.
   • Боковые стороны треугольника равны, а основание $AC=4$ см.

2. Треугольник $ADC$:

   • Это правильный треугольник, что означает, что все его стороны равны и все углы равны ${60}^{\circ }$.

3. Отрезок $BD$:

   • Перпендикулярен плоскости треугольника $ADC$.

Шаги решения:

1. Найдем высоту $h$ треугольника $ABC$:

   Так как $ABC$ равнобедренный, высота $h$ опущена из вершины $B$ на основание $AC$ делит его пополам: $AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ см}$ Используя теорему Пифагора в треугольнике $ABM$: $A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2$ $(2\sqrt{5}{)}^2=2^2+B{M}^2$ $20=4+B{M}^2$ $B{M}^2=16$ $BM=4\text{ см}$

2. Рассмотрим пространственное расположение точек:

   Поскольку $BD$ перпендикулярен плоскости $ADC$, то отрезок $BD$ является высотой, опущенной на плоскость треугольника $ADC$. Это означает, что $\mathrm{\angle }BACD$ — это угол между плоскостью $ABC$ и плоскостью $ADC$.

3. Определим координаты точек $предположим,что(A$ находится в начале координат):

   • $A=(0,0,0$ )
   • $C=(4,0,0$ )
   • $B=(2,4,0$ ) $таккак(BM=4$ см, и $AM=2$ см)

4. Рассмотрим плоскость $ADC$:

   • Плоскость $ADC$ содержит правильный треугольник.
   • Так как $BD$ перпендикулярен этой плоскости, то любой угол между $BD$ и любой прямой в плоскости $ADC$ равен ${90}^{\circ }$.

5. Плоскость $ABC$:

   • Плоскость $ABC$ имеет нормаль, которая перпендикулярна $AB$ и $BC$.

6. Вычисление угла $BACD$:

   Двугранный угол $\mathrm{\angle }BACD$ — это угол между нормалями плоскостей $ABC$ и $ADC$.

   Нормаль к плоскости $ABC$ может быть найдена через векторное произведение: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(2\sqrt{5},4,0)\times (4,0,0)=(0,0,-16)$ Нормаль к плоскости $ADC$ — это просто вектор $AD$, поскольку $AD$ — это высота, перпендикулярная к плоскости $ADC$.

   Таким образом, нормали перпендикулярны друг другу, и угол между ними равен ${90}^{\circ }$.

Ответ:

Двугранный угол $\mathrm{\angle }BACD$ равен ${90}^{\circ }$.