Расстояние между точками А(4;-5;2) В(1;у;-4) равно 7. Найдите у.
Расстояние между точками А(4;-5;2) В(1;у;-4) равно 7. Найдите у.
Для решения задачи найдем расстояние между двумя точками в трёхмерном пространстве, используя формулу расстояния между точками. Формула имеет вид:
[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ]
В нашем случае точки имеют координаты: А(4, -5, 2) и В(1, y, -4).
Расстояние между этими точками равно 7. Подставим координаты точек в формулу:
[ 7 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (y + 5)^2 + (-4 - 2)^2} ]
Теперь упростим выражения внутри квадратных скобок:
[ 7 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (y + 5)^2 + (-4 - 2)^2} ] [ 7 = \sqrt{(-3)^2 + (y + 5)^2 + (-6)^2} ] [ 7 = \sqrt{9 + (y + 5)^2 + 36} ]
Сложим известные числа под корнем:
[ 7 = \sqrt{45 + (y + 5)^2} ]
Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:
[ 7^2 = 45 + (y + 5)^2 ] [ 49 = 45 + (y + 5)^2 ]
Вычтем 45 из обеих сторон уравнения:
[ 49 - 45 = (y + 5)^2 ] [ 4 = (y + 5)^2 ]
Теперь, чтобы найти ( y ), возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:
[ \sqrt{4} = |y + 5| ] [ 2 = |y + 5| ]
Это означает, что возможны два случая:
Рассмотрим оба случая:
( y + 5 = 2 ) [ y = 2 - 5 ] [ y = -3 ]
( y + 5 = -2 ) [ y = -2 - 5 ] [ y = -7 ]
Итак, у нас два возможных значения ( y ): ( y = -3 ) и ( y = -7 ).
Таким образом, ( y ) может быть равен -3 или -7.
Для нахождения значения у можно воспользоваться формулой расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.
Формула расстояния между двумя точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) выглядит следующим образом:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
Подставляя координаты точек A(4;-5;2) и B(1;у;-4), а также известное расстояние d = 7, получаем:
7 = √((1 - 4)² + (у + 5)² + (-4 - 2)²)
7 = √((-3)² + (у + 5)² + (-6)²)
7 = √(9 + (у + 5)² + 36)
7 = √(45 + (у + 5)²)
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
49 = 45 + (у + 5)²
4 = (у + 5)²
√4 = у + 5
2 = у + 5
у = -3
Таким образом, значение у равно -3.
