Радиус шаров равны 4 см и 6 см, а расстояние между их центрами 5 см. Найдите длину линии, по которой...

Для решения задачи о пересечении двух сфер необходимо найти радиус круга, который образуется на пересечении сфер. Сначала найдем расстояние от центра каждой сферы до плоскости пересечения. Обозначим радиусы сфер как ( r_1 = 4 ) см и ( r_2 = 6 ) см, а расстояние между их центрами как ( d = 5 ) см.

1. Определим, на каком расстоянии от центра каждой сферы находится плоскость пересечения. Пусть ( x ) — расстояние от центра первой сферы (радиус 4 см) до плоскости пересечения, тогда расстояние от центра второй сферы (радиус 6 см) будет ( d - x ).

2. Применим теорему Пифагора к треугольнику, образованному центрами сфер и радиусом круга пересечения ( R ). Получаем два уравнения: [ r_1^2 = x^2 + R^2 \quad \text{(1)} ] [ r_2^2 = (d - x)^2 + R^2 \quad \text{(2)} ]

3. Подставляем численные значения в уравнения: [ 16 = x^2 + R^2 \quad \text{(1)} ] [ 36 = (5 - x)^2 + R^2 \quad \text{(2)} ]

4. Выразим ( R^2 ) из первого уравнения: [ R^2 = 16 - x^2 ]

   Подставляем во второе уравнение: [ 36 = (5 - x)^2 + 16 - x^2 ] [ 20 = (5 - x)^2 - x^2 ] [ 20 = 25 - 10x + x^2 - x^2 ] [ 20 = 25 - 10x ] [ 5 = 10x ] [ x = 0.5 ]

5. Теперь, зная ( x ), найдем ( R ): [ R^2 = 16 - 0.5^2 = 16 - 0.25 = 15.75 ] [ R = \sqrt{15.75} \approx 3.97 \text{ см} ]

Итак, радиус круга, по которому пересекаются поверхности двух шаров, примерно равен 3.97 см.

Для нахождения длины линии, по которой пересекаются поверхности шаров, нужно использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусами шаров и расстоянием между их центрами.

По данной задаче у нас есть два прямоугольных треугольника с гипотенузой 5 см (расстояние между центрами), катетами 4 см и 6 см (радиусы шаров). Для нахождения длины линии пересечения поверхностей шаров, нам нужно найти длину одного из катетов треугольника.

По теореме Пифагора: (a^2 + b^2 = c^2), где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Для первого треугольника с катетами 4 см и 5 см получаем: (4^2 + b^2 = 5^2), (16 + b^2 = 25), (b^2 = 9), (b = 3).

Таким образом, длина линии, по которой пересекаются поверхности шаров, равна 3 см.