Радиус основания конуса 2 см,а образующие наклонены к плоскости основания,под углом 30 градусов,найти...

Для решения этой задачи сначала найдем необходимые параметры конуса, а затем вычислим боковую поверхность и объем.

Дано:

• Радиус основания конуса ( r = 2 ) см.
• Угол между образующей и плоскостью основания = 30 градусов.

Найдем длину образующей ( l ):

Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 30 градусов. Это означает, что образующая ( l ) вместе с радиусом ( r ) и высотой ( h ) конуса образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:

• ( \tan(30^\circ) = \frac{r}{h} )

Подставим известные значения: [ \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \frac{2}{h} = \frac{\sqrt{3}}{3} ]

Отсюда находим высоту ( h ): [ h = \frac{2 \times 3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.464 \text{ см} ]

Теперь найдём длину образующей ( l ) используя теорему Пифагора: [ l^2 = r^2 + h^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16 ] [ l = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]

Найдем боковую поверхность:

Формула для боковой поверхности конуса: [ S{\text{бок}} = \pi r l ] Подставим известные значения: [ S{\text{бок}} = \pi \times 2 \times 4 = 8\pi \approx 25.13 \text{ см}^2 ]

Найдем объем конуса:

Формула для объема конуса: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] Подставим известные значения: [ V = \frac{1}{3} \pi \times 2^2 \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \times 4 \times 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \pi \approx 14.51 \text{ см}^3 ]

Ответ:

• Боковая поверхность конуса: ( 8\pi \approx 25.13 ) см².
• Объем конуса: ( \frac{8\sqrt{3}}{3} \pi \approx 14.51 ) см³.

Для начала нам нужно найти высоту конуса. Образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, где радиус основания является катетом, а высота конуса - другим катетом. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты:

h = r sin(30) h = 2 sin(30) h = 1 см

Теперь, зная высоту, мы можем найти боковую поверхность конуса, используя формулу:

S = π r l

где l - длина образующей. Длина образующей может быть найдена следующим образом:

l = √(r^2 + h^2) l = √(2^2 + 1^2) l = √5 см

Теперь можем найти боковую поверхность:

S = π 2 √5 S ≈ 6,28 * 2,24 S ≈ 14,07 см^2

Наконец, чтобы найти объем конуса, мы используем формулу:

V = (1/3) π r^2 h V = (1/3) π 2^2 1 V = (1/3) π 4 V ≈ 4,19 см^3

Итак, боковая поверхность конуса равна примерно 14,07 см^2, а объем - примерно 4,19 см^3.