радиус окружности,описаной около треугольника АВС,равен 6корней из 3.угол В равен 60градусов.найдите длинну стороны АС
радиус окружности,описаной около треугольника АВС,равен 6корней из 3.угол В равен 60градусов.найдите длинну стороны АС
Для решения задачи найдем длину стороны ( AC ) треугольника ( ABC ), используя данные: радиус описанной окружности ( R ) и угол ( B ).
Дано:
Теорема синусов: Согласно теореме синусов для треугольника: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R ] где ( a ), ( b ), и ( c ) — стороны треугольника, ( A ), ( B ), и ( C ) — соответствующие углы, и ( R ) — радиус описанной окружности.
Применение теоремы синусов: Для стороны ( AC ) (обозначим её ( b )): [ \frac{b}{\sin B} = 2R ] Подставляем значения ( B ) и ( R ): [ \frac{b}{\sin 60^\circ} = 2 \cdot 6\sqrt{3} ] Зная, что ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 12\sqrt{3} ]
Решение уравнения: Умножаем обе стороны уравнения на ( \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ b = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ b = 12 \cdot \frac{3}{2} ] [ b = 12 \cdot 1.5 ] [ b = 18 ]
Таким образом, длина стороны ( AC ) треугольника ( ABC ) равна 18 единиц.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства равнобедренного треугольника и теорему косинусов.
Итак, так как угол B равен 60 градусов, то треугольник ABC является равнобедренным, а значит стороны AB и AC равны между собой. Радиус описанной окружности равен 6√3, а значит длина высоты, опущенной из вершины A на сторону BC, также равна 6√3.
Обозначим сторону треугольника AB = AC = x. Тогда высота, проведенная из вершины A на сторону BC, разделит треугольник на два равнобедренных треугольника с гипотенузой x, катетом 6√3 и углом между катетами в 30 градусов.
Применяя теорему косинусов к одному из равнобедренных треугольников, получаем: x² = (6√3)² + (6√3)² - 2 6√3 6√3 * cos(30°) x² = 108 + 108 - 72 x² = 144 x = 12
Таким образом, длина стороны AC равна 12.
