Радиус окружности описанной около правильного многоугольника равен 8 см,а радиус окружности вписанной...

Пусть сторона правильного многоугольника равна "а", а количество его сторон равно "n".

Так как радиус описанной окружности равен 8 см, то длина отрезка, соединяющего центр многоугольника с его вершиной $апофема$, равна радиусу описанной окружности. Поэтому, апофема равна 8 см.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 4√3 см. Поэтому, расстояние от центра многоугольника до стороны многоугольника $радиусвписаннойокружности$ равно радиусу вписанной окружности. Таким образом, это расстояние равно 4√3 см.

Разобьем правильный многоугольник на треугольники, проведя высоту из вершины многоугольника до центра. Так как треугольник равнобедренный, то мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника. Один из которых будет равнобедренным с катетами 4√3 и а/2, а второй - прямоугольным с катетами а/2 и а/2.

Используя теорему Пифагора для обоих треугольников, мы можем записать следующее:

$а/2$^2 + $4\surd 3$^2 = а^2 $а/2$^2 + $а/2$^2 = ${а}^2$/2

Решив эти уравнения, мы получим: ${а}^2$/4 + 48 = а^2 48 = 3а^2/4 а^2 = 64 а = 8

Теперь, когда мы нашли длину стороны многоугольника $8см$, мы можем найти количество его сторон, используя формулу: n = 360° / $180°-(360°/n$)

Подставив известные значения, мы получим: n = 360 / $180-360/n$ 8n = 360$180-360/n$ 8n = 64800 - 360 8n = 64440 n = 8055

Следовательно, сторона правильного многоугольника равна 8 см, а количество его сторон равно 8055.

Для решения задачи необходимо воспользоваться известными формулами для правильного многоугольника.

Пусть $n$ - количество сторон правильного многоугольника, $R$ - радиус описанной окружности, и $r$ - радиус вписанной окружности. Для правильного многоугольника со стороной $a$ и количеством сторон $n$ существуют следующие соотношения:

1. Радиус описанной окружности: $R=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

2. Радиус вписанной окружности: $r=\frac{a}{2\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

По условию задачи нам даны: $R=8\text{см}$ $r=4\sqrt{3}\text{см}$

Подставим $R$ и $r$ в соответствующие формулы:

$8=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}$ $4\sqrt{3}=\frac{a}{2\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

Из первой формулы выразим $a$: $a=16\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Подставим $a$ во вторую формулу: $4\sqrt{3}=\frac{16\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}{2\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}$ $4\sqrt{3}=8\frac{\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)}{\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)}$

Преобразуем: $4\sqrt{3}=8\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$ $4\sqrt{3}=4\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Сократим на 4: $\sqrt{3}=\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)$

Используем формулу для произведения синуса и косинуса: $\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$

Тогда: $\sqrt{3}=\frac{1}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$ $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=2\sqrt{3}$

Мы знаем, что максимальное значение синуса равно 1, поэтому уравнение $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = 2 \sqrt{3} ) имеет смысл только при $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \sqrt{3}/2 ).

Таким образом, $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$ = \frac{\sqrt{3}}{2} ) достигает значения при: $\frac{2\pi }{n}=\frac{\pi }{3}$ $n=6$

Теперь найдем сторону $a$ многоугольника: $a=16\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$ $\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$ $a=16\cdot \frac{1}{2}=8\text{см}$

Итак, сторона правильного шестиугольника равна 8 см, а количество сторон $n=6$.

Сторона правильного многоугольника равна 16 см, количество сторон - 6.