Радиус круга описанного вокруг правильного многоугольника, равен 6√3 см, а радиус вписанной в него окружности—9см. Сколько сторон имеет. многоугольник?
Радиус круга описанного вокруг правильного многоугольника, равен 6√3 см, а радиус вписанной в него окружности—9см. Сколько сторон имеет. многоугольник?
Для определения количества сторон правильного многоугольника, вокруг которого описана окружность радиуса ( R = 6\sqrt{3} ) см и в который вписана окружность радиуса ( r = 9 ) см, можно воспользоваться формулой, связывающей радиусы и количество сторон ( n ) многоугольника:
[ R = \frac{a}{2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]
[ r = \frac{a}{2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]
где ( a ) — длина стороны многоугольника.
Также известно, что:
[ R = \frac{r}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]
Приравняем выражения для ( R ):
[ 6\sqrt{3} = \frac{9}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} ]
Отсюда получаем:
[ \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{9}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} ]
Значение (\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}) соответствует углу (\frac{\pi}{6}). Таким образом, (\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{6}).
Следовательно, ( n = 6 ).
Таким образом, правильный многоугольник, описанный около окружности радиуса ( 6\sqrt{3} ) см и вписанный в окружность радиуса ( 9 ) см, имеет 6 сторон, то есть это правильный шестиугольник.
Многоугольник имеет 12 сторон.
Для правильного многоугольника с радиусом описанной окружности R и радиусом вписанной окружности r справедливо следующее соотношение: R = r √(2 + 2 √(1 - (r/R)^2)).
Исходя из данных задачи, у нас имеется уравнение: 6√3 = 9 √(2 + 2 √(1 - (9/(6√3))^2)).
Решив это уравнение, получаем, что количество сторон правильного многоугольника равно 12. Таким образом, данный многоугольник является правильным 12-угольником.
