ПРОШУ, ОБЪЯСНИТЕ! В пирамиде DABC ребра DA,DB и DC взаимно перпендикулярны и равны a. Используя векторы,...

Для нахождения угла между плоскостями DAB и ABC воспользуемся свойством векторного произведения.

Первым шагом найдем векторное произведение векторов \overrightarrow{DA} и \overrightarrow{DB}, чтобы найти вектор нормали к плоскости DAB. Для этого воспользуемся формулой для векторного произведения:

\overrightarrow{n} = \overrightarrow{DA} \times \overrightarrow{DB}

где \overrightarrow{n} - вектор нормали к плоскости DAB. После нахождения вектора нормали к плоскости DAB, найдем вектор нормали к плоскости ABC, используя векторное произведение векторов \overrightarrow{DA} и \overrightarrow{DC}.

Далее найдем косинус угла между векторами \overrightarrow{n_1} и \overrightarrow{n_2} (нормали к плоскостям DAB и ABC соответственно) по формуле:

\cos\theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|}

где \theta - угол между плоскостями DAB и ABC.

После нахождения косинуса угла, можно найти сам угол, используя обратную функцию косинуса.

Для решения задачи необходимо найти угол между двумя плоскостями, заданными в пирамиде DABC. Даны условия: ребра DA, DB и DC взаимно перпендикулярны и равны (a). Плоскости, для которых нужно найти угол, — это DAB и ABC.

1. Определение нормальных векторов к плоскостям:

   • Плоскость DAB. Векторы в этой плоскости: [ \vec{DA} = (a, 0, 0), \quad \vec{DB} = (0, a, 0) ] Нормальный вектор (\vec{n_1}) к плоскости DAB можно найти с помощью векторного произведения: [ \vec{n_1} = \vec{DA} \times \vec{DB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & 0 & 0 \ 0 & a & 0 \ \end{vmatrix} = (0, 0, a^2) ]

   • Плоскость ABC. Векторы в этой плоскости: [ \vec{AB} = (-a, a, 0), \quad \vec{AC} = (-a, 0, a) ] Нормальный вектор (\vec{n_2}) к плоскости ABC: [ \vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -a & a & 0 \ -a & 0 & a \ \end{vmatrix} = (a^2, a^2, a^2) ]

2. Нахождение косинуса угла между плоскостями:

   Угол (\theta) между двумя плоскостями можно найти через косинус угла между их нормальными векторами: [ \cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} ]

   Скалярное произведение (\vec{n_1}) и (\vec{n_2}): [ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0, 0, a^2) \cdot (a^2, a^2, a^2) = 0 \cdot a^2 + 0 \cdot a^2 + a^2 \cdot a^2 = a^4 ]

   Длины векторов: [ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (a^2)^2} = a^2 ] [ |\vec{n_2}| = \sqrt{(a^2)^2 + (a^2)^2 + (a^2)^2} = \sqrt{3a^4} = a^2\sqrt{3} ]

   Подставляем в формулу для (\cos \theta): [ \cos \theta = \frac{|a^4|}{a^2 \cdot a^2\sqrt{3}} = \frac{a^4}{a^4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

3. Определение угла (\theta):

   Из известного значения (\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}), угол (\theta) между плоскостями равен: [ \theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) ]

Таким образом, угол между плоскостями DAB и ABC равен (\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)).