При каком значении m векторы а (5;m-4) и b (m;1) коллинеарны?

Векторы а и b коллинеарны, если они коллинеарны при любом значении m, кроме m=4.

Для того чтобы векторы а (5; m-4) и b (m; 1) были коллинеарны, необходимо, чтобы они были параллельны, то есть были пропорциональны друг другу. Для этого используем условие коллинеарности векторов: координаты вектора b должны быть пропорциональны координатам вектора a.

Так как вектор a имеет координаты (5; m-4), а вектор b имеет координаты (m; 1), то можно записать соотношение: 5/m = (m-4)/1

Решим это уравнение: 5/m = m-4 5 = m^2 - 4m m^2 - 4m - 5 = 0 (m - 5)(m + 1) = 0

Отсюда получаем два возможных значений m: m = 5 или m = -1.

Таким образом, при значениях m = 5 и m = -1 векторы а (5; 1) и b (5; 1) будут коллинеарны.

Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы они были линейно зависимы, то есть один из них был бы скалярным множителем другого. Формально, это означает, что существует такое число ( k ), что ( \mathbf{a} = k \mathbf{b} ) или ( \mathbf{b} = k \mathbf{a} ).

Даны векторы: [ \mathbf{a} = (5, m-4) ] [ \mathbf{b} = (m, 1) ]

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть: [ \frac{5}{m} = \frac{m-4}{1} ]

Рассмотрим это равенство более подробно: [ \frac{5}{m} = m - 4 ]

Теперь решим это уравнение относительно ( m ):

1. Умножим обе части уравнения на ( m ) (при условии, что ( m \neq 0 )): [ 5 = m(m - 4) ]

2. Раскроем скобки: [ 5 = m^2 - 4m ]

3. Перенесем все члены уравнения в одну сторону для получения квадратного уравнения: [ m^2 - 4m - 5 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант ( D ): [ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два корня: [ m_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} ]

Таким образом, получаем два значения для ( m ): [ m_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 ] [ m_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ]

Итак, векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) будут коллинеарны при ( m = 5 ) или ( m = -1 ).

Проверим оба значения:

1. При ( m = 5 ): [ \mathbf{a} = (5, 5-4) = (5, 1) ] [ \mathbf{b} = (5, 1) ] Векторы совпадают, значит, они коллинеарны.

2. При ( m = -1 ): [ \mathbf{a} = (5, -1-4) = (5, -5) ] [ \mathbf{b} = (-1, 1) ] Здесь ( \mathbf{a} = -5 \mathbf{b} ), что подтверждает их коллинеарность.

Таким образом, значение ( m ) может быть ( 5 ) или ( -1 ) для коллинеарности векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).