Правильная четырехугольная призма вписана в шар. Найдите высоту призмы, если радиус шара равен 5, а...

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной призмы, вписанной в шар, начнем с анализа геометрической конфигурации.

У нас есть правильная четырехугольная призма, вписанная в сферу с радиусом ( R = 5 ). Основание призмы — квадрат со стороной ( a = 6 ).

1. Центр шара и диагональ основания: Поскольку призма вписана в шар, диагональ основания призмы будет равна диаметру окружности, описанной вокруг этого основания. Для квадрата со стороной ( a ), диагональ ( d ) вычисляется по формуле: [ d = a \sqrt{2} = 6\sqrt{2} ]

2. Диаметр описанной окружности: Радиус окружности, описанной вокруг квадрата, равен половине диагонали: [ r_{\text{опис}} = \frac{d}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} ]

3. Высота призмы: Поскольку призма вписана в шар, то диагональ призмы будет равна диаметру шара. Высота призмы ( h ), диагональ основания ( d ) и радиус шара ( R ) связаны соотношением в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна диаметру шара ( 2R = 10 ): [ \sqrt{d^2 + h^2} = 2R ] Подставим значения: [ \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + h^2} = 10 ] [ \sqrt{72 + h^2} = 10 ] [ 72 + h^2 = 100 ] [ h^2 = 28 ] [ h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} ]

Таким образом, высота призмы равна ( 2\sqrt{7} ). Выбираем вариант ответа: 2 корня из 7.

Высота призмы равна 8.

Для начала найдем диагональ основания призмы, которая равна диаметру сферы (равному удвоенному радиусу) - 10. Далее, обозначим высоту призмы как h. Так как призма правильная, то треугольник, образованный диагональю основания, высотой призмы и радиусом сферы, является прямым.

Используя теорему Пифагора, можем записать: (6/2)^2 + h^2 = 10^2 3^2 + h^2 = 100 9 + h^2 = 100 h^2 = 91 h = √91

Ответ: высота призмы равна 7 корню из 91 (7√91).

Таким образом, ближайший вариант ответа - 7 корней из 2.