Прямоугольный треугольник с катетом 6 см и прилежащим острым углом 60градусов вращается вокруг этого...

В данном случае, речь идет о вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, что приводит к образованию конуса. Давайте разберем задачу по этапам.

Дано:

• Катет ( AB = 6 ) см.
• Прилежащий острый угол ( \angle CAB = 60^\circ ).

Задача: Найти поверхность тела вращения, то есть поверхность образованного конуса.

Решение:

1. Найдем длину второго катета ( BC ):

   Используем тригонометрическое соотношение: [ \tan(60^\circ) = \frac{BC}{AB} ] Поскольку (\tan(60^\circ) = \sqrt{3}), получаем: [ \sqrt{3} = \frac{BC}{6} \implies BC = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

2. Найдем длину гипотенузы ( AC ):

   Используем теорему Пифагора: [ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} ]

3. Определим радиус основания конуса ( R ):

   При вращении треугольника вокруг катета ( AB ), второй катет ( BC ) станет радиусом основания конуса: [ R = BC = 6\sqrt{3} \text{ см} ]

4. Определим высоту конуса ( h ):

   Высота конуса равна длине катета ( AB ): [ h = AB = 6 \text{ см} ]

5. Найдем образующую конуса ( l ):

   Образующая ( l ) конуса равна гипотенузе треугольника ( AC ): [ l = AC = 12 \text{ см} ]

6. Найдем площадь боковой поверхности конуса:

   Формула для площади боковой поверхности конуса: [ S{\text{боковая}} = \pi R l ] Подставляем значения: [ S{\text{боковая}} = \pi \times 6\sqrt{3} \times 12 = 72\sqrt{3}\pi \text{ см}^2 ]

7. Найдем площадь основания конуса:

   Формула для площади основания конуса: [ S{\text{основания}} = \pi R^2 ] Подставляем значения: [ S{\text{основания}} = \pi \times (6\sqrt{3})^2 = \pi \times 108 = 108\pi \text{ см}^2 ]

8. Найдем полную поверхность конуса:

   Полная поверхность конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания: [ S{\text{полная}} = S{\text{боковая}} + S{\text{основания}} ] Подставляем значения: [ S{\text{полная}} = 72\sqrt{3}\pi + 108\pi = \pi (72\sqrt{3} + 108) \text{ см}^2 ]

Таким образом, поверхность тела вращения, образованного вращением данного прямоугольного треугольника вокруг катета длиной 6 см, составляет ( \pi (72\sqrt{3} + 108) ) квадратных сантиметров.

Поверхность тела вращения будет равна 108π см².

Для нахождения поверхности тела вращения прямоугольного треугольника с катетом 6 см и прилежащим острым углом 60 градусов вокруг этого катета, нужно воспользоваться формулой для вычисления поверхности вращения:

S = 2πrh,

где S - поверхность тела вращения, r - радиус вращения (в данном случае равен 6 см, так как вращается вокруг катета), h - длина гипотенузы треугольника.

Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора: h = √(a^2 + b^2), где a и b - катеты треугольника.

Так как один из катетов равен 6 см, а другой равен 6√3 см (так как угол при нем равен 60 градусов), подставляем значения в формулу и находим длину гипотенузы: h = √(6^2 + (6√3)^2) = √(36 + 108) = √144 = 12 см.

Теперь подставляем значения радиуса и длины гипотенузы в формулу для вычисления поверхности вращения: S = 2π 6 12 = 144π см^2.

Итак, поверхность тела вращения прямоугольного треугольника равна 144π квадратных сантиметров.