Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 5 см вращается около большего из них. Определите объем и...

Когда прямоугольный треугольник вращается вокруг одного из своих катетов, он образует тело вращения, которое называется конусом. Если прямоугольный треугольник вращается вокруг большего катета, в данном случае 5 см, то малый катет 3 см становится радиусом основания конуса, а гипотенуза треугольника становится образующей конуса.

Шаг 1: Найти гипотенузу треугольника

Для этого используем теорему Пифагора: [ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \, \text{см} ]

Шаг 2: Вычислить объем конуса

Объем конуса ( V ) вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ] где ( r ) — радиус основания (3 см), а ( h ) — высота конуса (5 см).

Подставляем значения: [ V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (5) = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 5 = 15 \pi \, \text{см}^3 ]

Шаг 3: Вычислить площадь поверхности конуса

Площадь поверхности конуса ( S ) состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Формула для полной площади поверхности конуса: [ S = \pi r (r + l) ] где ( l ) — длина образующей конуса, равная гипотенузе (\sqrt{34}).

Подставляем значения: [ S = \pi (3) (3 + \sqrt{34}) = 3\pi (3 + \sqrt{34}) = 9\pi + 3\pi\sqrt{34} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, объем тела вращения (конуса) равен ( 15\pi \, \text{см}^3 ), а площадь его поверхности ( 9\pi + 3\pi\sqrt{34} \, \text{см}^2 ).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для объема и площади поверхности тела вращения.

1. Объем тела вращения можно найти по формуле: V = π r^2 h, где r - радиус окружности, вокруг которой вращается треугольник, а h - высота треугольника.

В данном случае, катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 5 см. Так как треугольник вращается вокруг большего катета (5 см), то радиус окружности, по которой он вращается, равен 5 см. Высота треугольника равна 3 см. Подставляем значения в формулу: V = π 5^2 3 = 75π см^3.

Итак, объем тела вращения равен 75π см^3.

1. Площадь поверхности тела вращения можно найти по формуле: S = 2 π r * L, где L - длина гипотенузы треугольника.

Длина гипотенузы находится по теореме Пифагора: L = √(3^2 + 5^2) = √34.

Подставляем значения в формулу для площади поверхности тела вращения: S = 2 π 5 * √34 = 10π√34 см^2.

Итак, площадь поверхности тела вращения равна 10π√34 см^2.