Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2. Найдите его объём

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 2, необходимо учитывать следующие свойства:

Когда прямоугольный параллелепипед описан около сферы, все его грани касаются поверхности сферы. Центр сферы совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелепипеда, а радиус сферы равен половине диагонали параллелепипеда, проходящей через его центр.

Дана сфера радиуса ( r = 2 ). Это означает, что диагональ прямоугольного параллелепипеда равна удвоенному радиусу, то есть:

[ d = 2r = 4. ]

Диагональ прямоугольного параллелепипеда может быть выражена через его измерения (a), (b) и (c) как:

[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}. ]

Приравнивая это к найденной диагонали, получаем:

[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 4. ]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

[ a^2 + b^2 + c^2 = 16. ]

Теперь объем (V) прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение его измерений:

[ V = a \times b \times c. ]

Чтобы найти конкретные значения (a), (b) и (c), при которых выполняются оба уравнения, мы можем воспользоваться симметрией задачи. Предположим, что (a = b = c). Тогда уравнение для диагонали принимает вид:

[ 3a^2 = 16. ]

Решая это уравнение, получаем:

[ a^2 = \frac{16}{3}, ]

[ a = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}. ]

Поскольку (a = b = c), объем прямоугольного параллелепипеда будет равен:

[ V = a \times b \times c = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{64}{3\sqrt{3}}. ]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}):

[ V = \frac{64\sqrt{3}}{9}. ]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 2, равен (\frac{64\sqrt{3}}{9}).

Для начала рассмотрим прямоугольный параллелепипед, описанный вокруг сферы. Поскольку сфера касается всех граней параллелепипеда, то его диагональ равна диаметру сферы, то есть 4. Пусть длины ребер параллелепипеда равны a, b и c. Тогда по теореме Пифагора для трехмерной фигуры получаем следующее уравнение:

a^2 + b^2 + c^2 = 4^2

Так как параллелепипед прямоугольный, то его объем можно найти по формуле:

V = abc

Теперь найдем объем параллелепипеда. Для этого представим, что противоположные углы параллелепипеда A и B образуют прямые углы. Тогда применим теорему Пифагора к плоскостям, содержащим диагонали параллелепипеда, и получим:

a^2 + b^2 = c^2, a^2 + c^2 = b^2, b^2 + c^2 = a^2.

Сложим эти уравнения и подставим в них a^2 + b^2 + c^2 = 16:

2(a^2 + b^2 + c^2) = 16, a^2 + b^2 + c^2 = 8.

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы радиуса 2, равен 8.