Прямоугольная трапеция, боковые стороны которой равны 4 и 5 см, а диагональ является биссектрисой острого...

Для решения задачи сначала определим все необходимые параметры прямоугольной трапеции и затем найдем площадь поверхности тела, образованного при вращении.

1. Определение параметров трапеции:

   • Пусть (ABCD) — прямоугольная трапеция с основаниями (AD) (меньшее основание) и (BC) (большее основание), причем (AD \perp AB).
   • Боковые стороны (AB = 4) см и (CD = 5) см.
   • Диагональ (AC) является биссектрисой угла (DAB).

2. Определение диагонали (AC):

   • Так как (AC) — биссектриса угла (DAB), это означает, что треугольник (DAB) делится на два равнобедренных треугольника.
   • Используем теорему Пифагора для треугольника (ABD): [ AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + x^2} ] где (x) — длина проекции (BD) на основание (AD).

3. Расчет (BC):

   • Так как диагональ является биссектрисой, то (BC) делится на два равных отрезка (BE) и (EC) (где (E) — точка пересечения диагонали с основанием (BC)).
   • Пусть (BE = EC = y).

4. Рассмотрим треугольники (ABD) и (ACD):

   • (AB = 4) см и (CD = 5) см.
   • Используем теорему Пифагора для треугольника (ABD): [ AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + x^2} ]
     • Используем теорему Пифагора для треугольника (ACD): [ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{AD^2 + 5^2} ]

5. Переход к телу вращения:

   • При вращении трапеции вокруг меньшего основания (AD) образуется тело вращения, состоящее из двух частей: цилиндра и конуса.
   • Высота цилиндра (h = 4) см.
   • Радиус основания цилиндра (r = BD).

6. Площадь поверхности тела вращения:

   • Площадь боковой поверхности цилиндра: [ S_{\text{бок}} = 2\pi r h = 2\pi x 4 ]
   • Площадь поверхности основания цилиндра: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi x^2 ]
   • Площадь боковой поверхности конуса: [ S_{\text{конус}} = \pi r l ] где (l) — образующая конуса, которую можно найти по теореме Пифагора: [ l = \sqrt{r^2 + 5^2} ]
   • Полная площадь поверхности тела вращения: [ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S{\text{осн}} + S{\text{конус}} ]

Теперь подставим все выражения и значения: [ r = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5 \text{ см} ]

[ S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 4 = 40\pi \text{ см}^2 ]

[ S_{\text{осн}} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ см}^2 ]

[ l = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ]

[ S_{\text{конус}} = \pi \cdot 5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\pi\sqrt{2} \text{ см}^2 ]

[ S_{\text{полная}} = 40\pi + 25\pi + 25\pi\sqrt{2} = 65\pi + 25\pi\sqrt{2} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшего основания, составляет (65\pi + 25\pi\sqrt{2}) квадратных сантиметров.

Площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольной трапеции, равна 78,5 кв. см.

Для решения данной задачи нам необходимо найти боковую сторону трапеции, которая является диагональю и биссектрисой острого угла. По теореме Пифагора, данная сторона равна $d = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.

Далее найдем радиус поворота данной трапеции, который равен половине диагонали, то есть $r = \frac{\sqrt{41}}{2}$.

Площадь поверхности тела, полученного при вращении трапеции вокруг меньшего основания, можно найти по формуле: $S = 2\pi r \cdot l$, где $l$ - длина боковой стороны трапеции.

Таким образом, $S = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{41}}{2} \cdot 4 = 4\pi \sqrt{41}$ см².

Итак, площадь поверхности тела, полученного при вращении данной прямоугольной трапеции, равна $4\pi \sqrt{41}$ квадратных сантиметров.