ПРЯМАЯ SA ПЕРПЕНДИКУЛЯРНА К ПЛОСКОСТИ КВАДРАТА ABCD . ДОКАЖИТЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ SAB И SAD

Для доказательства перпендикулярности плоскостей SAB и SAD можно воспользоваться следующим рассуждением:

1. Поскольку прямая SA перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, то она лежит в этой плоскости и перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

2. Рассмотрим две прямые - SA и SB. Поскольку SA перпендикулярна к плоскости ABCD, а SB лежит в этой плоскости, то угол между SA и SB равен 90 градусов.

3. Аналогичным образом, рассмотрим две прямые - SA и SD. Поскольку SA перпендикулярна к плоскости ABCD, а SD лежит в этой плоскости, то угол между SA и SD также равен 90 градусов.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что прямые SB и SD перпендикулярны к прямой SA. Таким образом, плоскости SAB и SAD также будут перпендикулярны друг другу.

Таким образом, перпендикулярность плоскостей SAB и SAD доказана.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей SAB и SAD можно воспользоваться следующими геометрическими соображениями:

1. Перпендикулярность прямой SA и плоскости квадрата ABCD: По условию задачи, прямая SA перпендикулярна плоскости квадрата ABCD. Это означает, что прямая SA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Прямые AB и AD: Так как AB и AD являются сторонами квадрата ABCD, они лежат в плоскости квадрата.

3. Перпендикулярность прямой SA к прямым AB и AD: Из пункта 1 следует, что прямая SA перпендикулярна не только плоскости квадрата, но и всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе и прямым AB и AD.

4. Плоскости SAB и SAD: Плоскость SAB содержит прямую SA и прямую AB. Аналогично, плоскость SAD содержит прямую SA и прямую AD.

5. Нормальные векторы плоскостей SAB и SAD: Пусть (\vec{n}{SAB}) и (\vec{n}{SAD}) — нормальные векторы плоскостей SAB и SAD соответственно. Так как прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, вектор (\vec{SA}) будет перпендикулярен векторам (\vec{AB}) и (\vec{AD}), которые лежат в этих плоскостях.

6. Вычисление нормальных векторов: Нормальный вектор плоскости можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости. Таким образом, (\vec{n}{SAB} = \vec{SA} \times \vec{AB}) и (\vec{n}{SAD} = \vec{SA} \times \vec{AD}).

7. Векторное произведение и перпендикулярность: Если рассмотреть выражения для (\vec{n}{SAB}) и (\vec{n}{SAD}), то оба этих вектора будут перпендикулярны вектору (\vec{SA}), поскольку векторное произведение вектора на себя дает нулевой вектор. Так как (\vec{AB}) и (\vec{AD}) перпендикулярны (\vec{SA}), то и нормальные векторы (\vec{n}{SAB}) и (\vec{n}{SAD}) будут перпендикулярны (\vec{SA}).

8. Перпендикулярность плоскостей SAB и SAD: Так как обе плоскости перпендикулярны одной и той же прямой SA, то они перпендикулярны друг другу.

Таким образом, плоскости SAB и SAD перпендикулярны.