Прямая проходит через точки А(1;10) и В(-1;-4). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой прямой и осями координат
Прямая проходит через точки А(1;10) и В(-1;-4). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой прямой и осями координат
Для нахождения площади треугольника, ограниченного прямой, проходящей через точки ( A(1; 10) ) и ( B(-1; -4) ), и осями координат, сначала найдем уравнение этой прямой.
Найдем уравнение прямой, проходящей через точки ( A ) и ( B ): Для этого используем формулу уравнения прямой через две точки: [ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} ] Подставим координаты точек ( A(1; 10) ) и ( B(-1; -4) ): [ \frac{y - 10}{-4 - 10} = \frac{x - 1}{-1 - 1} ] Упростим: [ \frac{y - 10}{-14} = \frac{x - 1}{-2} ] Перемножим крест-накрест: [ -2(y - 10) = -14(x - 1) ] [ -2y + 20 = -14x + 14 ] Приведем к стандартному виду уравнения прямой: [ 14x - 2y = -6 ] Разделим все на 2 для упрощения: [ 7x - y = -3 ] Это уравнение прямой.
Найдем точки пересечения прямой с осями координат:
Пересечение с осью ( X ) (( y = 0 )): [ 7x - 0 = -3 \implies x = -\frac{3}{7} ] Точка пересечения с осью ( X ) будет ( \left(-\frac{3}{7}; 0\right) ).
Пересечение с осью ( Y ) (( x = 0 )): [ 7(0) - y = -3 \implies y = 3 ] Точка пересечения с осью ( Y ) будет ( (0; 3) ).
Найдем площадь треугольника: Треугольник образован точками ( (0; 0) ), (\left(-\frac{3}{7}; 0\right)), и ( (0; 3) ).
Площадь треугольника, вершины которого находятся в точках ((x_1, y_1)), ((x_2, y_2)), и ((x_3, y_3)), можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| ]
Подставим координаты: [ S = \frac{1}{2} \left| 0(0 - 3) + \left(-\frac{3}{7}\right)(3 - 0) + 0(0 - 0) \right| ] [ S = \frac{1}{2} \left| 0 - \frac{9}{7} \right| ] [ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{7} ] [ S = \frac{9}{14} ]
Таким образом, площадь треугольника, ограниченного прямой и осями координат, составляет ( \frac{9}{14} ) квадратных единиц.
Для того чтобы найти площадь треугольника, ограниченного прямой, проходящей через точки А(1;10) и В(-1;-4), и осями координат, нужно сначала найти координаты точки пересечения этой прямой с осями координат.
Уравнение прямой, проходящей через точки А и В, можно найти, используя формулу для уравнения прямой: y = kx + b, где k - коэффициент наклона прямой, а b - свободный член.
Сначала найдем коэффициент наклона (k): k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-4 - 10) / (-1 - 1) = -14 / -2 = 7
Теперь найдем свободный член (b), подставив одну из точек (например, точку А): 10 = 7*1 + b b = 3
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки А и В, будет: y = 7x + 3
Теперь найдем координаты точки пересечения этой прямой с осями координат, подставив x = 0 и y = 0 в уравнение прямой: Для точки пересечения с осью ординат (y): 0 = 7x + 3 x = -3/7
Для точки пересечения с осью абсцисс (x): y = 7*0 + 3 y = 3
Итак, точка пересечения прямой с осями координат имеет координаты (-3/7; 0) и (0; 3).
Теперь можем построить треугольник, ограниченный прямой и осями координат, и найти его площадь. В данном случае, это прямоугольный треугольник, основание которого равно 3, а высота равна 3/7. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: S = 0.5 a b, где a - основание, b - высота.
S = 0.5 3 3/7 = 4.5/7 = 0.642857 (приблизительно)
Итак, площадь треугольника, ограниченного прямой, проходящей через точки А(1;10) и В(-1;-4), и осями координат, составляет приблизительно 0.642857.
