Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно....

Чтобы найти длину стороны ( AC ) треугольника ( ABC ), можно воспользоваться свойствами подобных треугольников и теоремой о пропорциональных отрезках.

Итак, известные условия:

1. Прямая параллельна стороне ( AC ) и пересекает ( AB ) в точке ( K ), а ( BC ) в точке ( M ).
2. Отношение ( BK:KA = 3:4 ).
3. Длина отрезка ( KM = 18 ).

Поскольку ( KM \parallel AC ), треугольники ( \triangle BKM ) и ( \triangle BAC ) подобны по признаку параллельности стороны и двух углов (AA).

Из условия подобия треугольников: [ \frac{BK}{BA} = \frac{KM}{AC} ]

Поскольку ( BK:KA = 3:4 ), это означает, что ( BK = \frac{3}{7}BA ) и ( KA = \frac{4}{7}BA ). Таким образом, ( BA = BK + KA = \frac{3}{7}BA + \frac{4}{7}BA = BA ).

Теперь выразим ( BK ) в терминах ( BA ): [ BK = \frac{3}{7}BA ]

Поскольку ( \frac{BK}{BA} = \frac{KM}{AC} ), то: [ \frac{\frac{3}{7}BA}{BA} = \frac{18}{AC} ]

Сокращая ( BA ) в числителе и знаменателе, получаем: [ \frac{3}{7} = \frac{18}{AC} ]

Теперь решим это уравнение для ( AC ): [ AC = \frac{18 \times 7}{3} = \frac{126}{3} = 42 ]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна 42.

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойством подобия треугольников.

Обозначим длину отрезка AK как x. Тогда длина отрезка BK будет равна 3x, так как отношение BK:KA равно 3:4.

Так как прямая, параллельная стороне AC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно, то отрезки AK и KM будут подобны отрезкам AB и AC. Следовательно, отношение длин отрезков AB и AC будет равно отношению длин отрезков AK и KM.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

AB/AC = AK/KM

AB/AC = 4x/18

AB/AC = 2x/9

AB/AC = 2/9

Так как отношение длин сторон треугольника ABC равно 2/9, то длина стороны AC будет равна 9 единицам, а длина стороны AB будет равна 2*9 = 18 единицам.

Итак, длина стороны AC треугольника ABC равна 9 единицам.