Построить поворот на 90 градусов треугольника вокруг его вершины

Для того чтобы построить поворот треугольника на 90 градусов вокруг одной из его вершин, необходимо следовать определенным шагам. Давайте рассмотрим этот процесс более подробно.

Шаг 1: Исходные данные

Предположим, у нас есть треугольник ABC, где вершины имеют координаты:

• ( A(x_1, y_1) )
• ( B(x_2, y_2) )
• ( C(x_3, y_3) )

И мы хотим повернуть этот треугольник на 90 градусов против часовой стрелки вокруг вершины ( A ).

Шаг 2: Перенос системы координат

Чтобы упростить вычисления, перенесем систему координат так, чтобы точка ( A ) стала началом координат. Для этого вычтем координаты точки ( A ) из координат всех точек треугольника:

• Новая координата ( B ) будет ((x_2 - x_1, y_2 - y_1)).
• Новая координата ( C ) будет ((x_3 - x_1, y_3 - y_1)).

Шаг 3: Поворот координат

Теперь воспользуемся матрицей поворота для поворота на 90 градусов против часовой стрелки. Матрица поворота на угол (\theta) против часовой стрелки имеет вид:

[ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} ]

Для угла в 90 градусов ((\pi/2) радиан):

[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} ]

Применим эту матрицу к новым координатам точек ( B ) и ( C ).

Для точки ( B ):

[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \ y_2 - y_1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -(y_2 - y_1) \ x_2 - x_1 \end{pmatrix} ]

Для точки ( C ):

[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 - x_1 \ y_3 - y_1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -(y_3 - y_1) \ x_3 - x_1 \end{pmatrix} ]

Шаг 4: Возвращение к исходной системе координат

Теперь вернемся к исходной системе координат, прибавив координаты точки ( A ) обратно к новым координатам точек ( B ) и ( C ).

Новая координата точки ( B' ):

[ (x_1 - (y_2 - y_1), y_1 + (x_2 - x_1)) = (x_1 - y_2 + y_1, y_1 + x_2 - x_1) ]

Новая координата точки ( C' ):

[ (x_1 - (y_3 - y_1), y_1 + (x_3 - x_1)) = (x_1 - y_3 + y_1, y_1 + x_3 - x_1) ]

Шаг 5: Итоговые координаты

Итак, итоговые координаты треугольника ( A'B'C' ) после поворота на 90 градусов против часовой стрелки вокруг вершины ( A ) будут:

• ( A' = A(x_1, y_1) ) (так как точка поворота остается на месте)
• ( B' = (x_1 - y_2 + y_1, y_1 + x_2 - x_1) )
• ( C' = (x_1 - y_3 + y_1, y_1 + x_3 - x_1) )

Заключение

Таким образом, мы построили поворот треугольника ABC на 90 градусов против часовой стрелки вокруг вершины ( A ). Этот процесс можно обобщить для любых других углов и любых других точек поворота, используя соответствующие матрицы поворота и корректные математические преобразования.

Для построения поворота на 90 градусов треугольника вокруг его вершины нужно выполнить следующие шаги:

1. Нарисуйте треугольник на листе бумаги.

2. Выберите вершину треугольника, вокруг которой будет выполняться поворот.

3. Проведите линию, проходящую через выбранную вершину и перпендикулярную одной из сторон треугольника. Эта линия будет служить осью поворота.

4. Поверните лист бумаги на 90 градусов вокруг выбранной вершины, используя проведенную в предыдущем шаге ось поворота.

5. Нарисуйте новое положение треугольника после поворота.

Таким образом, вы построите треугольник, повернутый на 90 градусов вокруг выбранной вершины.