Помогите решить уравнение: cos5x=1/2

Чтобы решить уравнение (\cos 5x = \frac{1}{2}), нужно найти значения (x), для которых косинус угла (5x) равен (\frac{1}{2}).

Шаги решения:

1. Основное уравнение косинуса: [ \cos \theta = \frac{1}{2} ] Значения (\theta), при которых косинус равен (\frac{1}{2}), это (\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) и (\theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число, поскольку косинус — периодическая функция с периодом (2\pi).

2. Применение к нашему уравнению: В нашем случае (\theta = 5x), следовательно: [ 5x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 5x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi ]

3. Решение для (x): Разделим каждое уравнение на 5, чтобы найти (x).

   • Для (5x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi): [ x = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} ]

   • Для (5x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi): [ x = -\frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} ]

Общий вид решения:

Таким образом, общее решение уравнения (\cos 5x = \frac{1}{2}) будет состоять из двух семейств решений, заданных формулами: [ x = \frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{15} + \frac{2k\pi}{5} ] где (k) — любое целое число.

Эти значения (x) покрывают все случаи, когда угол (5x) приводит к значению косинуса, равному (\frac{1}{2}).

Для решения уравнения cos(5x) = 1/2 можно воспользоваться формулой двойного угла для косинуса: cos(2a) = 2cos^2(a) - 1.

Преобразуем уравнение cos(5x) = 1/2 следующим образом: cos(5x) = 2cos^2(5x/2) - 1 = 1/2 Теперь получаем уравнение: 2cos^2(5x/2) - 1 = 1/2 2cos^2(5x/2) = 3/2 cos^2(5x/2) = 3/4 cos(5x/2) = ±√3/2

Теперь зная, что cos(π/6) = √3/2, мы можем записать: 5x/2 = ±π/6 + 2πn где n - целое число.

Отсюда получаем: 5x = ±π/3 + 4πn x = ±π/15 + 4πn

Таким образом, решение уравнения cos(5x) = 1/2 имеет вид: x = ±π/15 + 4πn, где n - целое число.